人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (8)_高中数学正弦函数教案

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第八教时

教材：函数的值域

目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。过程：

一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。提出课题：函数的值域

二、新授：

1．直接法（观察法）：

例

一、求下列函数的值域：1 yx

x1

2 f(x)5x

解：1 yxx1x11x1111

x1∵x1

0∴y1即函数yx

x1的值域是 { y| yR且y1}

（此法亦称部分分式法）

2 f(x)5x∵x[0,)∴f(x)[5,)即函数y =f(x)5x的值域是 { y| y≥5} 2．二次函数法：

例

二、1若x为实数，求 y=x2+2x+3的值域解：由题设 x≥0y=x2+2x+3=(x+1)2+2当 x=0 时 ymin=3函数无最大值

∴函数 y=x2+2x+3的值域是{ y| y≥3}2求函数 y24xx2的值域

解：由 4xx2≥0 得 0≤x≤4

在此区间内(4xx2)max=4(4xx2)min=0

∴函数y24xx2的值域是{ y| 0≤y≤2}

3．判别式法（△法）

例

三、求函数yx25x6

x2x6的值域

解一：去分母得(y1)x2+(y+5)x6y6=0(*)

当 y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)≥0

由此得(5y+1)2≥0

15

检验 y1

时x2（代入(*)求根）2(6

5)

∵2定义域 { x| x2且 x3}∴y1

5再检验 y=1 代入(*)求得 x=2∴y1

综上所述，函数yx25x6

1x2x6的值域为 { y| y1且 y5}

解二：把已知函数化为函数y

(x2)(x3)(x2)(x3)x3x316

x3

(x2)

由此可得 y1

∵x=2时y15即 y1

5∴函数yx25x6

1x2x6的值域为 { y| y1且 y5}

4．换元法

例

四、求函数y2x4x的值域

解：设 tx则 t≥0x=1t2

代入得 y=f(t)=2×(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4∵t≥0∴y≤4

三、小结：

1．直接法：应注意基本初等函数的值域 2．二次函数法：应特别当心“定义域” 3．△法：须检验

4．换元法：注意“新元”的取值范围

四、练习与作业：

《课课练》P51—54中有关值域部分《教学与测试》P41—42中有关值域部分

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