人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (15)_高中数学平面向量教案

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第十五教时

教材：平面向量的数量积平移的综合练习课

目的：使学生对平面向量数量积的意义、运算有更深的理解，并能较熟练地处理

有关长度、角度、垂直的问题。

过程：

一、复习：

1．平面向量数量积的定义、运算、运算律

2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法 3．平移的有关概念、公式

二、例题

例

一、a、b均为非零向量，则 |a+b| = |ab| 是 的………………（C）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解：若|a+b| = |ab|  |a+b|2 = |ab|2  |a|2 + 2ab + |b|2 = |a|2  2ab + |b|2 ab = 0  ab

例

二、向量a与b夹角为

3，|a| = 2，|b| = 1，求|a+b||ab|的值。

解：|a+b|2 = |a|2 + 2ab + |b|2 = 4 + 2×2×1×cos

+ 1 = 7

∴|a+b| =7,同理：|ab|2 = 3, |ab| =3∴|a+b||ab| =21 中，= a，= b，= c，= d，且ab = bc = cd = da，问ABCD是怎样的四边形？解：由题设：|a||b|cosB = |b||c|cosC = |c||d|cosD = |d||a|cosA∵|a| = |c| , |b| = |d|∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0是矩形 例

四、如图△ABC中，= c，BC= a，CA= b，则下列推导不正确的是……………（D）A．若a b

C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。A D．若c(a + b + c)= 0，则△ABC为正三角形。

a

解：A．ab = |a||b|cos

C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形

例

五、已知：|a| =2，|b| = 3，a与b夹角为45，求使a+b与a+b夹

角为锐角的的取值范围。

解：由题设：ab = |a||b|cos = 3×2×

2= 3(a+b)(a+b)=|a|2 +|b|2 +(

2+ 1)ab = 32 + 11 + 3∵夹角为锐角∴必得32 + 11 + 3 > 0∴ 

11116或6

例

六、i、j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，且AB= 4i + 2j，AC=3i + 4j，证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。

解：=(4, 2), =(3, 4), 则=(34, 42)=(1, 2), =(4, 2),∴BABC=(1)×(4)+(2)×2 = 0∴BABC即△ABC是直角三角形

|| =42222,|| =(1)2(2)2,且B = 90,∴S1△ABC = D 2

2555 例

七、用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。证：设AB=DC= a , AD=BC= b A

C

∵ABCD为菱形∴|a| = |b|

a

∴ACBD=(b + a)(b  a)= b2

 a2

= |b|2

 |a|2

b= 0

B

∴AC

例

八、已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解：由(a + 3b)(7a  5b)= 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0①(a  4b)(7a  2b)= 0  7a2  30ab + 8b2 = 0②两式相减：2ab = b2代入①或②得：a2 = b2

设a、b的夹角为，则cos =abb21

|a||b|2|b|2

∴ = 60

三、作业： P150复习参考五A组19—26B组1—6

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