人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (18)_高中数学平面向量教案

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第十八教时

教材：余弦定理

目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。过程：

一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90)有：c2a2b2在斜三角形中一边的平

方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？

二、提出课题：余弦定理1．余弦定理的向量证明：设△ABC三边长分别为a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

•=(+)•(+)=2+2•+

2=| |2+2||•||cos(180-B)+||2=c22accosBa2

即：b2a2c22accosB

同理可得：a2b2c22bccosAc2a2b22abcosC

2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它

们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2知三求一

3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

4变形：cosAb2c2a2a2c2b2a2b2c2

2bccosB2accosC2ac

三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

2．已知三边和它们的夹角求第三边

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精确到期1）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=8228’解这个三角

形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）解略

例

三、设a=(x=(x1, y1)b2, y2)a

与b的夹角为（0≤≤），求证：

x+ ya||b

121y2=||cos

证：如图：设a, b

起点在原点，终点为A，B

A

则A=(x=ba

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a

|ba|2=|a|2+|b|22|a||b

| cos

b

O

∵|ba|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a|2=xb12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x

12+y122+y222|a

||b

| cos

∴xy

1x2+ y12=|a||b|cos即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos

四、小结：余弦定理及其应用

五、作业：P131练习P132 习题5.9余下部分

x

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