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行程问题教学研究 枳沟初中
薛金灵
很明显这是列方程解应用题中的行程问题，行程问题是初中数学的重要内容，是中考的重要内容之一。是初中数学列方程解应用题的三大重点：行程问题，工程问题，百分率问题中的重点题型。行程问题又具体分为以下几种情形：
相遇问题：甲、乙相向而行：甲走的路程+乙走的路程=总路程
追击问题：甲、乙同向不同地：追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离
环形跑道问题：
1、甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，快的必须多跑一圈才追上慢的。
2、甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，两人第一次相遇跑的总路程=环形跑道一圈的长度。
飞行问题：基本等量关系：顺风速度=无风速度+风速
逆风速度=无风速度-风速
顺风速度-逆风速度=风速×2 航行问题：基本等量关系：顺水速度=静水速度+水速
逆水速度=静水速度-水速
顺水速度-逆水速度=水速×2 典型例题：李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分不钟200米
自行车路段和跑步路段共5千米，共用15分钟，求自行车路段和跑步路段的长度。
本题是一般的行程问题的列方程解应用题，直接应用关系式：路程=速度×时间，列方程或方程组解答。首先设未知数，一般两种设法，直接设或间接设，先考虑直接设，如设自行车路段为ｘ米，跑步路段为ｙ米。然后我画线段图表示路程，等量关系很明显即：路程相等一个方程，时间相等一个方程为：
ｘ＋ｙ＝５０００
｛ ｘ÷６００＋ｙ÷２００＝１５
当然本题也可用一元一次方程解，如设自行车路段为ｘ米，则跑步路段为（５０００－ｘ）米。可列方程得：ｘ÷６００＋（５０００－ｘ）÷２００＝１５
说明：本例还得注意单位统一
总之，列方程解应用题是初中数学教学的重点难点，在实际教学时，让学生首先弄清问题是具体的哪种类型，画图分析题意，选择所需的等量关系列方程。列方程解应用题的关键是把未知数与已知数同等看待。很多学生不会列方程的主要原因就把未知数与已知数分别看待，未知数设上不用。另外列程解应用题是两个过程，先根据题意列方程，在求解未知数值。
水流
1：甲、乙两港间的水路长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析：要求船速和水速，要先求出顺水速度和逆水速度，而顺水速度可按行程问题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时间=逆水速度。因此，顺水速度是286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米。所以，船在静水中每小时行（26＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米。
2：一只轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上用了75小时。已知这段航道的水流是每小时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？
分析与解答：先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和水速，可求出逆水速度为每小时行20－5=15千米。又已知“逆流而上用了75小时”，所以，上海港与武汉港相距15×75=1125千米。
3.某轮船在相距216千米的两个港口间往返运送货物，已知轮船在静水中每小时行21千米，两个港口间的水流速度是每小时3千米，那么，这只轮船往返一次需要多少时间？
4.A、B两个码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时。如果乙船顺流而行需要5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？
分析与解答：虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水路上行驶，所
以水速相同。根据题意，甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10=8千米，因此，水速为每小时（20－8）÷2=6千米。又由“乙船顺流而行80千米需要5小时”，可求乙船在顺水中每小时行80÷5=16千米。所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。
【应用举例】
例1 甲、乙两人在10千米的环形公路上跑步，甲每分钟跑230米，乙每分钟跑170米． ⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要多长时间相遇？ ⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要多长时间相遇？ 解：
1.(1)设需要的时间为x秒(230-170)x=10000
60x=10000
x=166.6分钟(2)设需要的时间为x秒 230×10+(230-170)x=10000
60x=7700
x=128.3分钟 答：⑴若甲先跑10分，乙再从同地同向出发，还要166.6分钟相遇？ ⑵若甲先跑10分，乙再从同地反向出发，还要128.3分钟 相遇？
例2 一列火车行驶途中，经过一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏固定的灯，垂直向下发光，灯光在火车上照了10s．求这列火车的长为多少？
解：经过一条长300m的隧道要20s：这里的20s是指隧道的长度加上火车的长度，即火车从进隧道，到完全的出隧道的长度。而隧道上的灯所照的时间10s：就是火车的长度。根据速度相等，设火车长x米，则
300+xx 变换为300+x=2x，即 2010x=300 所以火车长300米。
例3 在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米／小时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米／小时的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间是多少？ 解：设需要的时间为x秒，110千米/小时= 则：
275250米/秒，100千米/小时= 米/秒 99275250x-x=12+4 99解得：x=5.76 答：需要的时间为5.76秒
【课堂操练】
2.甲、乙两人分别在相距50km的地方同向出
发，乙在甲的前面，甲每小时走16km，乙每小时走18km，如果乙先走1小时，问甲走多少时间后，两个人相距70km？ 解：设甲走的小时数为x（x+1）×18-16x=70-50 2x=20-18 x=1 甲走1小时后两人相距70km
3.一辆大汽车原来的速度是30千米/时，现在开始均匀加速，每小时提速20千米；一辆小汽车原来行驶的速度是90千米/时，现在开始均匀减速，每小时减速10千米。经过多长时间两辆车的速度相等？这时车的速度是多少？ 解：设经过x小时车速相等。30+20x=90-10x 解为x=2 再用30+20×2=70 最后答：经过2小时两辆车的速度相等，这时车速是每小时70千米
4.兄弟两人由家里去学校，弟每小时走6里，哥每小时走8里，哥晚出发10分钟，结果两 人同时到校，学校离家有多远？ 解：设学校离家有x里
x10x ,x=4答:学校离家有4里 66085.甲、乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米．快车先开30分，两车相向而行，慢车行驶了多少小时后两车相遇？
解：设x小时后相遇
65x+85x=450-85*0.5
x=2.717 答:2.717小时后相遇
6.甲、乙两人分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行，已知甲的速度比乙快3千米／时，两人从上午8时出发，上午10时还相距15千米，到中午12时两人又相距15千米，求Ａ、Ｂ两地间的距离。
解：设AB两地的距离为x千米
上午10时还相距15千米，此时甲乙两人共行了x-15千米，用时2小时
中午12时两人又相距15千米，此时甲乙两人共行了x+15千米，用时4小时 两人的速度之和相等，有（x-15）/2=（x+15）/4 2（x-15）=x+15
2x-30=x+15 x=45 答：A、Ｂ两地间的距离是45km
【课后盘点】
1.采石厂工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域，导火索燃烧速度是1厘米／秒，人离开的速度是5米／秒，则导火索的长度至少是多少 厘米．
解：假设工人正好在爆破中心400m时，导火索燃尽，爆破开始。工人转移用时为t1=400/5=80s 导火索燃烧时间为t2=t1=80s 导火索长度为80s*1cm/s=80cm
2.一列长a米的队伍以每分钟60米的速度向前行进，队尾一名同学用1分钟从队尾走到队头，这位同学走的路程是
． 解：(60+a)m
5.一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1.5倍，求山下到山顶的路程．
答案：解：解：设上山速度有x千米/小时 1.5x×50＝60x＋1 , x＝1/15
1.5×1/15＝0.1千米
0.1×50＝5千米
答:上山速度有1/15千米/小时.下山速度有0.1千米/小时，山下到山顶的路程有5千米。6.一列火车在铁道上匀速行驶，经测量，这列火车在迎面而来的人身旁驶过用了15秒时间，而从背向而去的人身旁驶过用了17秒时间，已知行人步行的速度都是3.6千米／小时，请问这列火车有多长？
解：设火车速度x米每秒 3.6千米/小时=1米/秒 15（1+x）=17(x-1)x=16 火车长17（16-1）=255米
答：这列火车长255米
7.某人从家骑自行车到火车站，如果每小时
行15千米，那么他可以比火车开车时间提前15分钟到达；如果每小时走9千米，则要比开车时间晚15分钟到达．
(1)若准时到达火车站，需要多长时间？
(2)现打算比开车早10分钟到达，每小时应走多少千米？ 解：设还有x分钟火车开车
15千米/小时=13千米/分钟
9千米/小时=千米/分钟 42013（x-15）=（x+15）解得x=60 420即：还有60分钟火车开车 时间：60-10=50（分钟）路程：14（60-15）=千米 445换算成小时：0.225×60=13.5千米/小时
8.A、B两地相距60km，甲乙两人分别从A、B两地骑车出发，相向而行，甲比乙迟出 发 20min,每小时比乙多行3km ,在甲出发后1h40min ,两人相遇，问甲乙两人每小时各行多少km? 解：
解法1：设甲的速度为xkm/h，乙的速度就是(x-3)km/h 所以3x+（x-3）×2=60 5解得x=18
所以甲的速度为18km/h
乙的为15 km/h
解法2：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为（x+3）km/h 甲比乙迟出发20分，乙行了2个小时（1+40/60）（x+3）+2x=60 解得 x=15 甲的速度为15+3=18千米/小时
答：甲的速度为18千米每小时，乙的速度为15千米每小时
9.一列匀速前进的火车，从它进入320m的隧道到完全通过隧道经历18s，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10s，则这列火车的长为多少？
解：设火车的速度是xm/s． 根据题意得：320+10x=18y 解得：x=40m，得到：火车的长是400m． 答：这列火车长400米。
10.A、Ｂ两地相距1890千米，甲、乙两列火车分别从Ａ、Ｂ两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？ 解：解：在行程问题中，路程=速度×时间，设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米．当两车相遇前相距135千米时，可得方程：120x+135+150x=1890 当两车在相遇后相距135千米时，可得方程：120x+150x=1890+135 解这两个方程，得x=6.5或x=7.5 答：经过6.5小时或7.5小时，两列火车相距135千米．
11.甲、乙两地相距23千米，Ａ从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；Ｂ从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地回到乙．若Ａ、Ｂ同时从甲、乙两地出发，经过5小时，在他们各自返回的路上相遇，如果Ａ的速度比Ｂ的速度快3千米／时，求两人的速度．
解：设B的速度为a千米/小时，则A的速度为(a+3)千米/小时
11小时，30分钟=小时 3211（5-）a+（a+3）×（5-）=23×3 2320分钟=
914a+a+14=69 2355a=55 6a=6千米/小时
答：A的速度为6+3=9千米/小时
B的速度为6千米/小时
【课外拓展】
有8位退休教师分别乘坐小汽车从山区赶往飞机场,可真不巧,其中一辆小汽车在距离飞 机场15千米的地方出了故障,不能行驶,此时离飞机停止检票时间只剩下42分钟(停止检票后即不让乘客上飞机).这时,惟一可以利用的交通工具只剩下一辆小汽车,连同司机在内一次限乘5人,这辆小汽车的平均速度为60千米/ 时.(1)这辆小汽车要分两批送这8人,如果
第二批人在原地等待,那么这8 人都能及时到达机场吗?请说明理由.(2)(列方程解答)如果在小汽车送第一批人的同时,第二批人先步行;小汽车把第一批人送到机场后立即返回接送在步行中的第二批人, 若这些人的步行速度为5千米/时,问:这8人都能及时到达机场吗?请说明理由.解： 解：（1）设小汽车送这两批人到达机场所用的时间为xh，由题意得60x=15×3 解得x= 34h，即 34×60=45min＞42min
答：这8名球迷不能在规定的时间内赶到机场．
（2）设汽车送第一批人返回与第二批人相遇的时间为xh，则这段时间第二批人走的路程为5xkm，汽车送第二批人用的时间为：(15-5x)60h，依题意得：60x+5x=2×15 解得：x= 613 5x=5× 613= 3013(15-5x)60= 1152 所以：汽车送这两批人的时间为 613+ 1152= 3552≈40min＜42min． 答：这8名球迷能在规定的时间内赶到机场．
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