线面平行习题精讲_线面平行经典例题

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1.已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面

平面=b，求证a//b．

分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的．可借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．

证明：经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，∵a∥平面，a∥平面，∴a∥c，a∥d，∴c∥d，又∵d平面，c平面，∴c∥平面，又c平面，平面∩平面=b，∴c∥b，又∵a∥c，所以，a∥b．

平面BCD． 2．已知：空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//A

证明：连结BD，在ABD中，∵E,F分别是AB,AD的中点，∴EF//BD，EF平面BCD，BD平面BCD，B∴EF//平面BCD．

3、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB

把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.（I）求证：AF//平面PEC；

．解：（I）如图，设PC中点为G，连结FG，则FG//CD//AE，且FG=1CD=AE，2∴四边形AEGF是平行四边形∴AF//EG，又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF//平面PEC正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.证法一：如图9-3-4（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN,因为面ABCD∩面ABEF=AB,则AE=DB.又∵AP=DQ,∴PE=QB.又∵PM∥AB∥QN, ∴PMPEQNBQPMQN,.∴.ABAEDCBDABDC

∴即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又∵MN面BCE，PQ面BCE，∴PQ∥面BCE.证法二：如图9-3-4(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.∵AD∥BC,∴DQAQ.QBQK

又∵正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB，且AP=DQ，∴AQAP.则PQ∥EK.QKPE

∴EK面BCE，PQ面BCE.∴PQ∥面BCE.点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=1AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、2PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图2.（I）求证：AP∥平面EFG；

解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2.（I）∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.∴EF∥CD，EG∥PB.又CD∥AB∴EF∥AB，PB∩AB = B，∴平面EFG∥平面PAB.∴PA∥平面EFG.6.P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ..证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴AO=OC.连结OQ，则OQ在平面BDQ内，且OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴

PC∥平面BDQ.7.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD..证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，则由正方体性质得

B1D1∥BD.∵E、F分别是D1C1和B1C1的中点，∴∴

1B1D1.21BD.2∴E、F、B、D对共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.∵M、N为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF面EFBD.∴MN∥面EFBD.∵PQ∥AO,∴四边形PAOQ为平行四边形.∴PA∥OQ.而OQ平面EFBD，∴PA∥面EFBD.且PA∩MN=P，PA、MN面AMN，∴平面AMN∥平面EFBD.8 //

S72S。

证明：

GDGHGAC//BDEACFBDHEHAHAE//BF

ACGA9BFHB16BDGB21AE∥

BFAEHA28 AC∥BD

SAEC

SBFD1ACAEsinA3731744BFBDsinB2∴ SBFD96正方形ABCD交正方形ABEF于AB（如图所示）M、N在对角线AC、FB上且AM= FN。求证：MN //平面BCE

证：过N作NP//AB交BE于P，过M作MQ//AB交BC于Q

CMQMBNNPNPMQACABBFEF

又 ∵ NP//AB//MQMQPN

MN//PQMN//面BCEPQ面BCE

PECFFACEBFA求证：EF//面PCD EPB10.P为ABCD所在平面外一点，，且

CFHFFB.证：连BF交CD于H，连PHAB//CD∴ ABF∽CFH∴ FA

PECFHFEBFAFBBPH在中

EF面PCDPHPCD∴

EF//PH11已知：平面α∩平面β＝a求证：a、b、c证明：∵α∩β＝a，β∩∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当a∥b时

∵α∩γ＝c且aα，aγ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.12如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.∵AD∥BC

∴△AFD∽△MFB

∴AFDF FMBF

又∵BD＝B1A，B1E＝BF

∴DF＝AE

∴AFAE FMB1E

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C

∴EF∥平面BB1C1C.证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE

∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB1C1C

∴FH∥平面BB1C1C

由FH∥AD可得BFBH BDBA

又BF＝B1E，BD＝AB1 ∴B1EBH AB1BA

∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C

∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB1C1C

EF平面FHE

∴EF∥平面BB1C1C

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.∴△END的面积为n2(m+p)平方单位.m

13如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.求证:MN∥平面AA1B1B.分析一：本题是把证“线面平行”转化为证“线线平行”，即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，除上面的证法外，还可以连CN并延长交直线BA于点P，连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.分析二：要证“线面平行”也可转化为证“面面平行”，因此，本题也可设法过MN作一个平面，使此平面与平面ABB1A1平行，从而证得MN∥平面ABB1A1.

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