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第2讲直线与平面平行、平面与平面平行
一、选择题
1.已知三条直线a、b、c和平面β，则下列推论中正确的是()
A.若a∥b，b⊂β，则a∥βB.若a、b与β所成的角相等，则a∥b
C.若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥bD.若a⊥c，b⊥c，则a∥b
解析：A项错误，a∥b，b⊂β，也可能有a⊂β；B项错误，若a，b与β所成角相等可
推出a，b平行，相交，异面.D项错误，a⊥c，b⊥c，可推出a，b平行，相交，异面.答案：C
2.(2010·湖南衡阳调研)平面α∥平面β的一个充分条件是()
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：根据平面平行的条件，只有D项符合.答案：D
3.已知m，n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面.下列命题中正确的是()
A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：举反例，如下图所示
.D是线面垂直的一个性质，故选D项.答案：D
4.(2009·河北衡水模拟)如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边
AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则()
A.BD∥平面EFGH，且EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且EFGH是平行四边形
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1解析：由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF綊BD，∴EF∥面BCD；又H、G分别为
51BC、CD的中点，∴HG綊；∴EF∥HG且EF≠BD，2∴EFGH是梯形，故选B项.答案：B
二、填空题
5.如图所示，在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是.解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，EMEN1E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由MA＝NB，得MN∥AB.因此，MN∥
2平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD
6.(2009·黑龙江哈尔滨模拟)如图，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别
是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH
是菱形时，AE∶EB＝.bm解析：如图所示，设AE=a，EB=b，由EF∥AC可得EF=同理a＋b
anEH=a＋b
∵EF=EH，∴
m答案：n7.(2009·郑州12月份调研)已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于
A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8则BD的 长为.解析：如图(1)，∵AC∩BD＝P，∴经过直线AC与BD可确定平面PCD，PAPB68－BD∵α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，∴AB∥CD.AC＝BD＝BD9
PAPB246BD－8∴BD如图(2)，同理可证AB∥CD.∴PC＝PD，∴BD＝24，538
综上所述，BD＝24或
24.5bmanam于是b＝n.a＋ba＋b
答案：24或24
5三、解答题
8.(2010·广东惠州调研)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方
形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中点.证明：PA∥平面BDE.证明：连接A，C交BD于O，连接EO
∵ABCD是正方形，∴O为AC中点，E为PC的中点，∴OE∥PA，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，PA∥平面BDE.9.(2010·改编题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置
时，平面D1BQ∥平面PAO？
解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.10.如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC.证明：(1)连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H.∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有
连接PF、FH、PH有MN∥PF，又PF⊂平面ACD，MN⊂平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理，MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.BMBNBG＝＝2.MPNFGH
(2)解：由(1)MGBG22＝＝MG＝PH.PHBH3
31111又PH＝AD，∴MG＝AD.同理，NG＝AC，MNCD.2333
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3.∴S△MNG∶S△ADC＝1∶
9.1.(2010·创新情景题)有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平
行平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，N为()
A.0种B.1种
C.2种D.无数种
解析：∵BC∥平面B′A′C′，BC∥B′C′，∴平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，所以过EF、BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，选B项.答案：B
2.(★★★★)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别
是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边
形EFGH及其内部运动，则M满足条件时，有MN∥平面
B1BDD1.解析：因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意 点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH
55讲直线与平面平行和平面与平面平行直线与平面平行【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.【证明】方法1：如图，作ME//BC，交BB于E，作NF/......
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