线面、面面平行习题_线面面面平行习题

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线面、面面平行习题课

三、例题精讲

题型

1、线面平行判定定理，线面平行性质定理

线线平行 线面平行

例

1、（线线平行 →线面平行→线线平行）

解：已知直线a∥平面，直线a∥平面，平面平面=b，求证a//b．

证法一： 经过a作两个平面和，与平面和分别相交于直线c和d，aa//c c同理：a//da//

c//ddc//ccbc//ba//ba//c

证法二：经过a作一平面π，使得平面π∩面=k，面π∩面=l.aa// k k同理：a// la//

a// l// k

又∵三个平面α、、π两两相交，交线分别为k、l、b且k∥l，∴k∥l∥b，则a∥b.证法三：在b上任取一点A，过A和直线a作平面和平面α相交于l1，和平面相交于直线l2.aa// l1 l1同理：a// l2a//

a// l1// l

2∵过一点只能作一条直线与另一直线平行，∴l1与l2重合.又∵l1面α，l2面，∴l1与l2重合于b.∴a∥b.点拨:证明直线与直线平行,有下列方法:(1)若a,bα,且a∩b=,则a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,则a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,则a∥b.C

1例

2、（线线平行→线面平行→线线平行→线面平行）证法一：连结AC、AC11，A

1长方体中A1A//C1CAC11//AC 

AC面A1C1C

A1C1面A1C1 

A BAC//面A1C1B

AC

面ACP

A1BPAM 面ACP面A1C1BMN

PCBCN1AC//MN

 MN面ABCDMN//面ABCD

AC面ABCD

证法二：利用相似三角形对应边成比例及平行线分线段成比例的性质。∽PMPB

AA1M PBM MAAA1

 ∽ A1PNPB

PBNCCN 1

NCCC1

CC1AA1 

PMPN

AC//MN

MANCMN//面

ABCDMN面ABCD

AC面ABCD

点拨：证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②判定定理：利用线线平行，证线面平行；③利用面面平行，证线面平行.其中主要方法是②、③两法，在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.例3.（线线平行→线面平行→面面平行）

证明:(1)分别连结B1D1、ED、FB，如答图9-3-3，C

1C

E、F分别是D1C1和B1C1的中点B1D1.2

正方体性质得B1D1//BD

EFBD.唯一平面，EF,BD

∴E、F、B、D共面.（2）连结A1C1交MN于P点，交EF于点Q，连结AC交BD于点O，分别连结PA、QO.M、N为A1B1、A1D1的中点MN//EF



EF面EFBDMN面EFBD.

MN面EFBD

O四边形PAOQ为平行四边形PA//OQ 

OQ平面EFBDPA//面EFBD.



PA平面EFBD 



PAMNP

PA、MN面AMN

平面AMN平面EFBD.例4.（线线平行→线面平行→面面平行→线面平行）证法一：作FH∥AD交AB于H，连结HE.



BC

ADBFBH

FH//ADBDBA



BF＝B1E，BD＝AB1



B1EBHEH//B1B

AB1BA



B1B平面BB1C1CEH//平面BB1C1C

EH平面BB1C1CEHFH＝H

EH、FH平面FHE平面FHE//平面BB1C1C

EF//平面BB1C1C

EF平面FHEBC

1AD//BC

FH//BC

FH//AD



BC面BB1C1CFH//平面BB1C1C FH面BB1C1C



B1C1

D1

A1

证法二：(线线平行→线面平行)

A1

D1

连AF延长交BC于M，连结B1M.AD//BC

AFDF

AFD∽MFB

FMBF

BD＝B1A

DF＝AE

BE＝BF1







AFAE

FMB1E

EF//B1M



B1M平面BB1C1CEF//平面BB1C1CEF平面BB1C1C

说明：证法一证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面

内.证法二则是用了证线面平行，先证线线平行.例5.（面面平行→线线平行）

证明: 过A作直线AH//DF, 连结AD,GE,HF(如图).AH//m平面，AAH,mAD,GE,HF

 lAHA平面'，l,AH'GB,HC'

GE

AD,GE,HF

'GB,'HC



 ////

ABAGmlBG//CH ABDEBCGH BCEFAD//GE//HFAGDE、GHEF

例6．（线线平行→面面平行）证明：根据每相邻的两边互相垂直，边长均为a，A且AA1//CC1,将图形补成正方体，如图。则，B

C

只需在正方体中，证明面ABC//面A1B1C1即可。

A

1连接AC,AC11.正方体AB//B1C1且BC//A1B1





ABBCB,B1C1A1B1B1

AB,BC面ABC, A1B1,B1C面A1B1C面ABC//面A1B1C1

C1

B1

四、综合练习

1．证明：

证法一：(线线平行→线面平行（构造平行四边形）)

如图（1），作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N,连接MN。

面ABCD面ABEFABAEDB



APDQ

PEQB



PMQN

AB//QN

ABDCPMPE

PM//AB

ABAE

//

PM  QN四边形PMNQ为平行四边形PQ//MN



MN面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

证法二：(线线平行→线面平行（构造三角形，利用平行线段比，三角形相似比）)

如图(2)，连结AQ并延长交BC或BC的延长线于点K，连结EK.

面ABCD面ABEFABAEDB





APDQ

AQAPPQ//EKQKPE



EK面BCEPQ//面BCEPQ面BCE

AD//BC

证法三：(面面平行→线面平行)

如图(1)，过PM∥BE交AB于M，连接MQ。

APAM



AEAB



面ABCD面ABEFABAEDBAPDQ

PM//BE

DQAQ

QBQK

A

M

F

P

B

D

Q

C

E

3



DQAM

MQ//ADDBABMQ//BC

AD//BC



PM//BEPMMQM,BEBCB



PM、MQ面PMQ,BE、BC面BCE

面PMQ

PM

2．证明：

GDGHGHEHA

HAC∥BD





ACBDBF

BFHB16

AEHA28

SAECSBFD

ACAEsinA

373

1744BFBDsinB2∴ SBFD96

3．证明：如答图9-3-2，连结AC交BD于点O.连结OQ

ABCD是平行四边形AOOC



PQ=PA

OQ是APC的中位线PC//OQ



PC面BDQ，OQ面BDQPC//平面BDQ.4．证明：连BF交CD于H，连PH

CFHF



AB//CDABF∽CFHFAFB



PECF

EBFA

PEHFEF//PH



EF// EBFB

EF面PCD,PH面PCD 

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