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初中数学思想方法及其教学(1)
新课程教学大纲提出：初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的要领法规、公式、性质、公理、定理以及其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想、方法反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是学生形成良好的认知结构和纽带，是培养学生能力的桥梁。在数学教学中渗透数学思想、方法是全面提高初中数学教学质量的重要途径。
一、初中数学思想和方法
数学思想是研究和解决数学问题时的指导思想，是在对数学知识和方法的本质认识和概括的基础上形成的一般性观点。数学方法是指具有可操作性并能具体解决数学问题的方法，数学思想来源于数学方法，是数学方法的抽象和概括，反过来又指导数学方法的实施，而数学方法是数学思想的具体体现。
（一）数学思想
初中数学中的数学思想很多，这里着重谈一谈转化思想、方程思想、数形结合思想及分类思想。
1.转化思想
转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想。运用转化思想可以把生疏的新的问题转化成熟悉的旧的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把一般问题转化成特殊的问题，从而完成数与数的转化，形与形的转化，数与形的转化。数学中的构造法、代换法、换元法、配方法等也是体现转化思想的具体的数学方法，下面看两个例子：
例1 已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD。
求证：CD= BE。
分析一：要证明CS=
BE，只须证明2CD=BE
为此，需要延长CD，BA交于F点，只要证明DF=CD，△CFA≌△BEA。
分析二：要证明CD= BE，在BE上取中点G，只须证明CD=EG。
为此，需要作GH⊥BE交BC于H，连结HE（如图2）。
只要证明△CDE≌△EGH。
分析三：要证明CD=
BE，取BE中点G，连接AG、AD（如图3）。
只须证明，AG=AD=CD
为此，只要证明A、B、C、D四点共圆，∠1=∠2=45°，∠3=∠4=22.5°
说明，把证明线段的和、差、倍、分问题转化或证明两条线段相等的问题。
例2 已知：如图4，P是正方形ABCD内一点，且PA:PB:PC=1:2:3。
求证：∠APB=135°
分析一：要证明，∠APB=135°=45°+90°
为此，将△APB绕B点旋转90°，落到△CP’B的位置，只须证明∠BP’P=45°，∠PP’C=90°，只要证明BP’=BP=2X，PP’2+P’C2=9X2=PC2。
分析二：要证明∠APB=135°，只须证明tg∠APB=-1，只质证明sin∠APB=-cos∠APB，为此，设PA=X，PB=2X，PC=3X，AB=BC=a
只须证明，只要证明cos∠PBC=,sin∠ABP=cos∠PBC
说明，分析一体现着把135°转化成两个特殊角（45°和90°），由旋转法完成数与形的转化。分析二体现着把求∠APB=135°问题转化成用正弦定理，余弦定理，同角或互为余角间的三角函数关系式来解决。
2.方程思想
方程思想是指利用方程或方程组解决数学问题的指导思想。在研究平面几何时，若所涉及到元素之间的关系，可考虑通过设辅助未知数并列出方程或方程组，使有关的几何量之间的关系显现出来，从而使所研究的问题比较简捷地加以解决。
例3，已知：如图5，AB、CD分别切⊙O于A/D点，且AB∥DC，BC切⊙O于E。
求证：OE≤
BC
分析：要证明OE≤
BC
只须证明
2OE≤BC
只须证明
4OE2≤BC2
只须证明
BC2-4OE2≥0
由已知
BE+CE=BC
只要证明
BE•CE=OE2，那么BE、CE就是方程X2-BCX+OE2=0的二根。
为此，连结OB、OC，只要证明∠BOC=90°。
说明
由分析体现几何问题可以转化成一元二次方程及其根的判别式的性质问题，例2的分析二也体现了方程思想。
3.数形结合思想
数形结合思想是通过数与形的结合来研究和解决数学问题的指导思想，数形结合思想是数学中运用最普遍的思想，它可以使抽象问题具体化、形象化，使几何的图形问题数量化，下面我们也看两上例题。
例4 K为何值时，方程
X2+2（K+3）X+2K+4=0的一个
根小于3，而另一个根大于3。
分析：为了求出K值，设y=x2+2(k+3)x+2k+4，并根据题意画出函数图象的草图（如图6），yx=3
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例5 已知：如图7，圆内接四边形ABCD。
求证：AC•BD=AB•CD+BC•AD
分析：要证明 AC•BD=AB•CD+BC•AD，AB•CD=AC•X，只须证明
BC•AD=AC•Y
X+Y=BD
这时的X、Y为BD上的两条线须，其长待定，在BD上设一待定点P，PD=X，PB=Y，连结CP。
只质证明
只须证明
△ABC∽△DCP，△BCP∽△ACD
为此，需作∠DCP=∠ACB交BD于P点。
说明，前例体现方程问题可以充分利用同次函数的图象和性质帮助我们分析和解决问题。后一例是利用待定的思想方法，逐步推断出辅助线CP的引法。
4.分类思想
分类思想是根据要求确定分类标准，然后将数学对象划分为不同种类加以研究的指导思想。对数学对象分类时应遵循两个原则：（1）在同一问题中分类按同一标准进行；（2）分类要做到不重、不漏。分类有利于对问题的深入研究，有助于发现解题思路和运用技能技巧，这对培养学生分析问题和解决问题的能力大有帮助。看下面例题：
例6
已知：如图8，正方形ABCD的边长为a，分别以A、B、C、D为圆心，以a为半径向正方形内作圆弧，求图中阴影部分的面积。
分析
由图形的对称性，把正方形分割为三类图形，其面积分别以x、y、z来表示
说明，把图形进行分类，将面积问题转化为解方程组，这是求面积问题的一种巧妙、简捷的解法。
（二）数学方法
初中数学所涉及到的数学方法也很多，如构造法、代换法、消元法、降次法、换元法、配方法、配方法、特定系数法、图象法、辅助元素法等等，另外还包括一些常用的推理论证方法，如归纳法、类比法、演绎法、分析法、综合法、反证法、同一法等。这些数学方法都是研究数学问题时经常用到的，因此需要很好地掌握。
二、数学思想、方法的教学
（一）认真钻研教材，充分发掘教材中蕴含的数学思想和方法
我们在备课时要认真钻研教材，充分发掘提炼在教材中的数学思想和方法，并弄清每一章节主要体现了哪些数学思想，运用了什么数学方法，做到心中有数。例如平面几何圆这一章就是用分类和联系的思想把全章分成；圆的有关性质；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系；正多边形和圆四大类，在根据不同的类型研究各自图形的性质和判定，此外还要掌握四点共圆的方法，把直线形的问题转化成圆的问题，再归纳在四大类中分别运用有关性质加以解决。再如一元二次方程这一章，内容丰富，方法多样，蕴含着转化的思想，把未知转化为已知，把高次方程转化为低次方程，把多元方程转化为一元方程，把无理方程转化为有理方程，把实际问题转化为数学问题等。
（二）提高认识，把数学思想和方法的数学纳入教学目的数学思想、方法的数学是数基础知识教学的重要组成部分，为了使数学思想、方法的教学落到实处，首先要从思想上提高对数学思想、方法教学的重要性的认识，进而把数学思想、方法的教学纳入教学目的中去，并且具体落实在每节课的教学目的中。
（三）结合教材内容，加强数学思想和方法的渗透、解释和归纳
在数学教学过程中，对教材内容所反映出来的数学思想、方法要结合教学实际分别予以渗透、解释和总结归纳，以提高学生的认识，逐步培养学生运用数学思想、方法解决问题的能力。例如在代数中数形结合的思想就渗透到各个章节，适时的为学生归纳和总结利用数形结合研究代数问题的规律和方法，就成了代数教学的基本特点。同样，在几何中分类思想和转化思想也是渗透在各个章节，因此，在讲圆这一章时，有必要给学生总结出如何用分类思想和转化思想来解几何题的规律和方法。
总之。数学思想、方法的教学研究是中学数学教研的一个重要课题，是提高教学质量的关键，因此必须予以重视。
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