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渗透数学思想方法教学的研究
在数学教学中渗透数学思想方法的重要性和必要性大家已有认识。那么在日常的教学中教师怎样做才好呢？
“挖掘”、“统帅” 是前提，“引导”、“参与” 是关键。我们认为：挖掘、统帅、引导、参与这八个字是渗透数学思想方法教学的主题词。
我们认识到：学生的学习过程是一个在已有知识和经验为基础的主动、积极的建构过程。由原有的认知结构，经过 “同化”、“顺应”，产生新的认知结构，而后又经过实践应用，形成更新的认知结构。在这个意义下可以认为：数学是学习自己学会的，不是教师讲会的。这决不是说学生学数学不需要教师了。恰恰相反，教师应是建构活动的深谋远虑的 设计 者、组织者、参与者、指导者和评估者。学生的学习活动应该在教师的的效控制下进行才会获得高效益。
挖掘。数学思想方法是蕴含在数学知识之中的。数学知识是显化的，数学思想方法是潜在的。数学思想方法需要由教师充分挖掘、采用恰当的方法使学生领悟才会见效。
例如，在进行乘法公式教学时有的学生公式会背、语言叙述准确无误，一般的题都会做，就是不会做变式题。问题的原因不是乘法公式这节课，而是字母表示数式。字母（符号）表示变元，学生没有真正理解所致。有相当多的人一直以为 a 就是表示正数，如同 3 就是表示 3。他们不理解 a 可以表示任何实数，表示任何代数式等。由此可见，教师在初一进行字母表示数、代数式的教学时，应站在要渗透符号思想的高度来 设计 自己的教学过程。不能满足于学生会用字母表示数后，将字母等同数字进行运算的结果。应该让学生认识到用数字表示数和用字母表示数的本质区别 —— 数字仅表示某个确定的数，字母表示某个可变的确定的数（即变元）。在后面的教学中教师仍要不断地强调，才会使学生获得正饶认识。进行代数式一节的教学时仍要贯穿这一思想，要向学生指出：一个字母也可以表示一个代数式，使学生的认识更深化一步。
又如，进行概念教学时，学生能把某个定义背得很熟，但就是不会用。如果我们从中挖掘出其中蕴含的转换思想，情况就不会不同。因为数学中定义的概念与被定义兼具性质、判定双重功能。明确向学生指出这一点，会使他们对定义的理解、运用更上一层楼。
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。这是线段的定义，学生学习时一般只作顺向理解，知道什么叫线段。但遇到直线上有三个点，问共有几条线段的时就会答不全。我们认为对于定义再作逆向理解：线段是由直线上两个端点之间的部分构成的。两个端点，在确定一个端点的情况下，再按顺序去确定另一个端点，于是直线上有三个点，共有三条线段的结论就不难得到了。更复杂一点，直线上有四个点，甚至有 99 个
点问共有多少条线段？通过归纳思维训练，学生也会正确解答。
类似地，角的定义也应这样教学，而且可用类比思维作指导，完全可以依照线段概念进行教学。角的顶点在哪里，它是由哪两条射线组成的图形，是我们认识角的基点。有了这样的理念，在今后遇到的复杂图形中，找出所需的角就不会是难事了。
我们认为，教师要有意识地渗透数学思想方法的首要条件，是教师要从数学思维方法的角度对教材进行分析、研究。要善于发现和挖掘教材内容中所隐含的数学思想方法，做到胸中有数。由此再进一步考虑如何 设计 教学过程，使学生逐步领悟、理解、掌握、运用所学的某个数学思想方法。
统帅。我们进行数学教学，不仅要使学生掌握前人的数学成果（即教材中的各个知识点），更重要的是引导学生展开思维，领悟其中的数学思想和精神实质，以便提高学生的数学素质，提高数学能力。为此，教师在备课、讲课、评课、辅导等环节中都要有意识地运用数学思想方法，将其贯穿在整个教学过程之中。这就是我们所说的 “统帅” 的含义。
例如，《有理数的加法》教学，教材先通过 6 个运动求和的实例，得到如下结果：（1）5+3=8 ；（4）5+（-3）=2 ；
（2）（-5）+（-3）=-8 ；（5）3+（-5）=-2 ；
（3）5+（-5）=0 ；（6）（-5）+0=-5。
由此归纳、概括得出有理数的加法法则。如果我们有分类思想作指导，便可引导学生仔细观察上面 6 个等式。便不难看出：（1）和（2），实质上同号两数相加，可分两种情况：即正 + 正 = 正，负 + 负 = 负；（3）、（4）、（5）是异号相加，又可分为三种情况，即按两个加数的绝对值大小分为三类：两加数绝对值相等时和为零，正加数绝对值大于负加数绝对值时和为正，正加数的绝对值小于负加数绝对值时和为负；（6）是有一加数为 0 的情况（由于正数 + 零与零 + 零在小学已学过，未列出）。这样，把两个加数按符号进行了分类，使学生在众多的数学当中分辨清数的各种可能情况，渗透了分类既不重复又不遗漏的原则。
又如，在学了角的比较大小后，对于小于平角的角分为锐角、直角、钝角三类，就是分类思想的体现。再如三角形的分类：如果三角形按照边的长短关系通常分为：
（1）不等边三角形 —— 三边都不相等；
（2）等腰三角形 —— 三边中只有两边相等；
（3）等边三角形 —— 三边都相等。
如果三角形按角的大小关系来分，则可分为：
（1）锐角三角形 —— 各个角都是锐角；
（2）直角三角形 —— 有一个角是直角；
（3）钝角三角形 —— 有一个角是钝角。
由此让学生初步体会：同一类事物按不同的标准可进行不同的分类，但在同一标准下必须做到不重、不漏。
渗透数学思想方法的教学，我们提出挖掘、统帅是前提，还要明确三点：（2）数学思想方法蕴含在教材的各个知识点中，即使是同一种数学思想方法，在不同的章节中，要求的层次也是不同的；
（3）学生对某个数学思想方法的认识、理解、掌握需要有一个 “认同”、“顺应” 的过程。只有当某个数学思想方法真正纳入到他们的认知结构之中了，才会成为他们的自觉行动。因此，渗透数学思想方法的教学是一个长久的渐进的过程。
现代认知科学理论认为：知识是无法传授的，传递的只是信息。还认为学生是数学学习活动中的认知主体，是建构活动中的行为主体，而其他则是客体或载体。学生作为主体的作用，体现在认知活动的中参与功能。没有主体参与，老师的任何传授将毫无意义，教师的主导作用也无从发挥。因此，在渗透数学思想方法的教学中，我们提出：引导、参与是关键。
引导。由于任何一种数学思想方法都不能很快地被人掌握，需要经历了解（孕育）、理解（领悟）、掌握（形成）、应用的过程；又由于数学思想方法是蕴含于各个知识点中，在某个知识点的教学时，突出什么数学思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，在什么知识点的教学再反复、深入提高 „„ 都要由教师进行系统地研究，作出周密的安排。具体到某节课的教学，教师都要从学生的角度来考虑，创设怎样的情况、提出怎样的问题、讲授怎样的内容、设计 怎样的活动、安排怎样的练习等促使学生积极思维。通过学生自己主动的建构活动，学会他们所要学的知识和技能要由教师来引导。
实践证明，数学思想方法的掌握，需要学生在数学活动中长期地实践、积累，不断地体验才能逐步做到。在这个过程中，教师要适时地点拨与指导。到一定阶段（例如某一个教学段落、学期结束、考前总复习等）教师再作必要的概括提高，从而使学生对数学思想方法的认为、掌握提高到一个新的水平。
参与。指的是教师、学生都要投入到教学活动中来。学生的参与尤其重要，如果没能
学生的积极参与，这样的教学活动决不会是成功的。
例如，有理数的分类可分成正数、零、负数，也可分整数、分数（小数）。在有理数的混合运算
（一）这节课的教学中，教师采用提出问题，让学生自己想，然后相互讨论，再板演的方式进行。允许学生用不同的方法解题，从中发现较简捷的解法。在这节课中，渗透了分类和转化的数学思想，学生运用了运算律，使有理数的混合运算达到正确、简捷的目的。学生通过讨论达到参与、交流的目的。教师在教学中，不断向学生提问、质疑、鼓励，起到了积极引导的作用。（此课例可参看录相看片《认识建构与数学教学 ∧ 第十集中 詹宝玲老师做的课）。又如，定理教学是数学教学的重点。如何使学生发现定理的形成过程，定理证明思履来历，特别是辅助线的添加方法一直是教学中研究的重点。在《三角形中位线定理》一节课的教学中，我们运用计算机辅助教学手段，采用《几何画板》软件，给学生创设了一个理想的情境，所画的三角形可以任意变化，（体现定理对于任意三角形都成立）可测算出一组同位角始终相等，中位线的长是第三边长的一半。学生经过对图形的观察很容易得到定理的结论。（这个过程是一个实验过程，让学生从感性上认识定理的正确性。定理的结论是由学生自己的发现。体现了 “做数学” 的理念。）定理的证明实质是经过平移变换或旋转变换，将三角形图形转化为平行四边形而证明的。《几何画板》能很好地演示上述过程。所以定理的证明思路、辅助线的添加方法都是显得十分自然。在教师的引导下，学生积极地参与，整个教学过程是学生的思维步步深入的过程，达到了理想的教学效果。必须指出，这节课的教学《几何画板》软件发挥了传统教学手段达不到的效果。因此按照教学的需要，采用现代教育技术手段是非常必要的。（此课例可参看录相片《认识建构与数学教学 ∧ 第十一集中场革老师做的课。）
在一单元或一章教学结束后，特别是在期末复习或总复习时，教师更应该用数学思想来统帅教学过程。让学生认识到从数学思想的高度来总结学过的知识，好比用一根线把一串珍珠（知识点）连起来，既有条理，又不易遗忘。
例如，在中考复习时，把初中阶段学过的各种方程（组）解法，在转化思想的指引下，运用消元、降次、换元等方法，最终化为 x=a 的形式，从而求得方程（组）的解。这样处理不仅总结、归纳了初中已学过的知识，而且为高中进一步学习指数方程、对数方程、三角方程等的解法准备了思想基础。
总之，数学思想方法是 中学 数学教学的重要内容之一。任何数学总是的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是教材体系的灵魂，是教学 设计 的指导，是课堂教学的统帅，是解题思履指南。把数学知识的精髓 —— 数学思想方法纳入基础知识范畴是加强数学素质教育的一个重要举措。随着对数学思想方法教学研究的深入，在教学中渗透数学思想方法的实施，必将进一步提高数学教学质量。
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