1.等差数列_等差数列1

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第一讲:等差数列

1第一讲:等差数列

等差数列是最基本、最简单的数列.高考中等差数列的问题可分类如下:

1.基本量法

例1:(2013年福建高考试题)已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.(Ⅰ)若1,a1,a3成等比数列,求a1;

(Ⅱ)若S5>a1a9,求a1的取值范围.解析:(Ⅰ)由1,a1,a3成等比数列a12=a3a12=a1+2a1=-1,或2;

(Ⅱ)由S5>a1a95a1+10>a1(a1+8)a1∈(-5,2).类题:

1.(2013年浙江高考试题)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d、an;

(Ⅱ)若d

22.最值问题

例2:(2012年江西高考试题)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.(Ⅰ)确定常数k,并求an;

(Ⅱ)求数列{92an

2n

212}的前项和Tn.1212129k=8k=4an=-n;22解析:(Ⅰ)由Sn=-n2+kn=-(n-k)2+k2

(Ⅱ)92an

2n=2n(1n1n)Tn=4-(2n+4)().2

2类题:

1.(1992年全国高考试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn,己知a3=12,S12>0,S13

(Ⅰ)求公差d的取值范围;

(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并且说明理由.2.(2006年北京高考试题)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.3.等差判定

例3:(2013年安徽高考试题)设数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N+,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f()=0.2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若bn=2(an+

12an),求数列{an}的前n项和Sn.)=0(an-an+1 2解析:(Ⅰ)由f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinxf(x)=(an-an+1+an+2)-an+1sinx-an+2cosx;又由f（+an+2)-an+1=0an+an+2=2an+1数列{an}是等差数列;由a1=2,a2+a4=8a3=4an=n+1;

(Ⅱ)bn=2(an+12an11[1()n]n(n1)12)=2n+n+2Sn=2++2n=n+3n+1-n.1222121

类题:

1.(2011年大纲高考试题)设数列{an}满足a1=0,且

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn=1an1

11-=1.1an11an,记Sn=bk,证明:Sn

k1n

2.(2013年江苏高考试题)设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d≠0),Sn是其前n项和.记bn=

为实数.(Ⅰ)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=nSk(k、n∈N+);

(Ⅱ)若{bn}是等差数列,证明:c=0.2nSnn2c,n∈N+,其中c

4.证明等差

例4:(2010年安徽高考试题)设数列a1a2,…an,…中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何n∈N+都有:111n++…+=.a1a2a2a3anan1a1an

1解析:必要性:设等差数列{an}的公差为d,则①当d=0时,ak=a1n111n++…+==;②当d≠0时, a1a2a2a3anan1a1a1an1

1111111111n=(-)++…+=(-)=;akak1dakak1a1a2a2a3anan1da1an1a1an1

充分性:由111n1111n11n1n++…+=++…++==-a1a2a2a3anan1a1an1a1a2a2a3anan1an1an2a1an2an1an2a1an2a1an1(n+1)an+1-nan+2=a1nan-(n-1)an+1=a1(n+1)an+1-nan+2=nan-(n-1)an+1an+an+2=2an+1数列{an}为等差数列.类题:

1.(2005年江苏高考试题)设数列{an}的前n项和为Sn,己知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1,2,3,…,其中A,B为常数.(Ⅰ)求A和B的值;

(Ⅱ)证明:数列{an}为等差数列;

(Ⅲ)证明:不等式:5amnaman>1对任何正整数m,n都成立.2.(2006年福建高考试题)己知数列{an}满足:a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an.(Ⅰ)证明:数列{an+1-an}是等比数列;

(Ⅱ)求an;

(Ⅲ)数列{bn}满足:4b114b214bn1(an1)bn,证明:{bn}是等差数列.5.等差性质

例5:(2010年江西高考试题)证明以下命题:

(Ⅰ)对任一正整数a,都存在正整数b,c(b

(Ⅱ)存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正整数且an,bn,cn成等差数列.22222

2解析:(Ⅰ)a,b,c成等差数列b-a=c-b2222222(b-a)(b+a)=(c-b)(c+b),令b-a=n(c-b)c+b=n(b+a)b=

22n21n22n12a,为使b为正整数,只能取n=2b=5a,c=9a;故对任一正整数a,都存在正整数b=5a,c=9a(b

等差数列;

(Ⅱ)an,bn,cn成等差数列bn-an=cn-bn(bn-an)(bn+an)=(cn-bn)(cn+bn),取关于n的一个多项式,使得它可按两种方式分解成两个因式的积,如4n(n-1)=(2n+2)(2n-2n)=(2n-2)(2n+2n),令bn-an=2n+2,an+bn=2n-2n,且cn-bn=2n-2,cn +bn=2n+2nan=n-2n-1,bn=n+1,cn=n+2n-1(n≥4)an0以an,bn,cn为边长可构成△n;对任意正整数n、m(n≠m),假如△n与△m相似n1anbcbcbnbabn1n1,且nnn= nnnnm1ambmcmbmcmbmm1bmambmm***22n1222n=m,与n≠m矛盾;故存在无穷多个互不相似的三角形△n,其边长an,bn,cn为正整数且an,bn,cn成等差数列.m1

类题:

1.(2004年广东高考试题)己知α,β,γ成公比为2的等比数列(α∈[0,2π]),且sinα,sinβ,sinγ也成等比数列,求α,β,γ.2.(2009年江苏高考试题)设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a2+a3=a4+a5,S7=7.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;

(Ⅱ)试求所有的正整数m,使得

amam1为数列{Sn}中的项.am22222

6.等差综合例6:(2011年上海高考试题)已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6,bn=2n+7(n∈N+),将集合{x|x=an,n∈N+}∪{x|x=bn,n∈N+}中的元素由小到大依次排列,构成数列c1,c2,c3,…,cn,….(Ⅰ)求c1,c2,c3,c4;

(Ⅱ)求证:在数列{cn}中,但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;

(Ⅲ)求数列{cn}的通项公式.解析:(Ⅰ)由an=3n+6,bn=2n+7{an}:9,12,15,…,{bn}:9,11,13,15,…c1=9,c2=11,c3=12,c4=13;

(Ⅱ)设an=bm3n+6=2m+7m=3n1n为奇数,即当且仅当为n奇数时,an在数列{bn}中在数列{cn}中,但不在数2

列{bn}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…;

6k3(n4k3)3n16k5(n4k2)(Ⅲ)在m=中,令n=2k-1m=3k-2b3k-2=2(3k-2)+7=6k+3=a2k-1;b3k-1=6k+5,a2k=6k+6,b3k=6k+7cn=.6k6(n4k1)26k7(n4k)

类题:

1.(2012年山东高考试题)(文)已知数列{an}的前5项和为105,且a10=2a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意m∈N+,将数列{an}中不大于7的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.2.(2012年山东高考试题)(理)在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意m∈N+,将数列{an}中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.m2m2m

等差数列

等差数列（1）定义： anan1d,(n2)d0,递增数列；d0,常数列；d0,递减数列；通项：ana1n1damnmd 得出通项的方法： （1）归纳法： （2）累加法：通项公式2：anpnq；公差为p，首项为p+q 反映在图像上是一条直线上的......

等差数列

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等差数列

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等差数列

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《等差数列》说课稿

《等差数列》说课稿作为一名教职工，时常会需要准备好说课稿，编写说课稿是提高业务素质的有效途径。那要怎么写好说课稿呢？下面是小编收集整理的《等差数列》说课稿，欢迎阅读，希望......