等差数列测试卷_等差数列测试卷免费

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第二十八讲 等差数列

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()

A．S7B．S8C．S1

3解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，1∴3a1＋18d＝p，解a7.3

13×(a1＋a13)13∴S13＝13a7＝p.23

答案：C

12．等差数列{an}中，已知a1，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()3

A．48B．49

C．50D．

511212解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝d＝，令an＝33＝(n－1)×，可解得n3333

＝50.故选C.答案：C

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()

A．2B．3

C．4D．5

解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝

值为4.故选C.答案：C

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为()

11A.63

35C.56

解析：∵{an}是等差数列，D．S15 a3＋a52a4的最大a5a3

用心爱心专心-1-

266a55

∴＝×5＝，故选D.a3a1＋a5(a1＋a5)×5S56

22答案：D

5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若大值，则使Sn>0的n的最大值为()

A．11B．19 C．20D．21 a2＋a8S5

a11

－1，且它们的前n项和Sn有最a10

a11

∴a10>0，a11

∴S19＝＝19·a10>0，S2020(a1＋a20)

＝10(a10＋a11)

2所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B

6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N)的前12项，如下表所示：

*

200920102011A．1003B．1005 C．1006D．2011

解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数

列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－7

2An7n＋45a6

8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.Bnn＋3b6

＝6

1答案：

79．设f(x)＝xn项和的公式的方法，可求得f(－5)

22＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝

x

2＋2

x

anA2n－1

求得．

bnB2n－1

212

∴f(1－x)＝1－x＝＝xx，2222·22＋2

∴f(x)＋f(1－x)xx＝

222＋2设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝2，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝2.答案：2

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.·2

x

·2

x

1＋

·2

x

x

2＋2

2.2

Snn

∵a4－a2＝8，∴d＝4.又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋

n(n－1)

×4＝2n－n，Sn1

则Tn＝2n

n

∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.答案：2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知：f(x)＝－

*

114＋2数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan在曲线y＝f(x)

x

an＋1

上(n∈N)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足{bn}是等差数列．

解：(1)由y＝－点Pnan，－∴－

4＋2

Tn＋1Tn2

16n－8n－3，问：当b1为何值时，数列22

anan＋1

x



an＋1

1在曲线y＝f(x)上，an＋1

f(an)＝－

1an

并且an>0∴

an＋1

14＋，an

a2n＋1

1*

2＝4(n∈N)．

an

数列{2是等差数列，首项2＝1，公差d为4，ana1

112∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，an.an4n－3∵an>0，∴an(2)由an＝

n∈N)．

4n－31

*

2＝2＋16n－8n－3得 4n－3anan＋1

Tn＋1Tn

(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋1Tn

1.4n＋14n－3

令cn＝

Tn，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，4n－3

*

∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N，则Tn＝(4n－3)n＝4n－3n，n∈N，∴bn＝8n－7，n∈N，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．

12．数列{an}满足an＝3an－1＋3－1(n∈N，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；

1*

(2)是否存在一个实数t，使得bn＝n(an＋t)(n∈N)，且{bn}为等差数列？若存在，则求

3出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋3－1

*2

*

n*

n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1(an＋t)－

an－1＋t)

＝n(an＋t－3an－1－3t)31n1＋2t＝(3－1－2t)＝1－33

1要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t

即存在t＝－，使{bn}为等差数列．

213．设f(x)＝

ax*

(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N.x＋a

1

(1)证明数列是等差数列；

an

(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．

解：(1)证明：ann＋1＝f(an)＝

a·aa1

11，n＋aaan

∴

a111na11.＋1aan

n＋1ana

∴1a是首项为11的等差数列． n

a

(2)由(1)知1

a是等差数列，n

∴11

a

a＝1＋(n－1).整理得an＝

na

(a－1)＋n

.(3)ba

n＝an·an＋1＝

11(a－1)＋na(a－1)＋n＋1a2n＋a－1－n＋a

.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T2n＝a11a－1＋a＋111＋a2＋a

＋

…＋

1n＋a－11n＋a



＝a21a1n＋a＝a2

·n＋a－aa(n＋a)nan＋a{bn}的前n项和为nan＋a

∴数列

等差数列测试卷

等差数列作业1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()A．S7 B．S8C．S13D．S1512．等差数列{an}中，已知a1a2＋a5＝4，an＝33，则n为( )A．48B．49C．50......

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