线性代数试题A答案_线性代数考题及答案a

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2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准

一.填空题(本题满分12分,每小题3分)

120025111、1;

2、3;

3、A0031003002;

4、2 313

二、选择题(本题满分12分,每小题3分,.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1.C;2.C;3.A;

4、B 三.计算行列式(本题满分6分)解1 10Dn001110010001110001110001010020003100010000n

31011分

n1n

3分

解2 10Dn00111001000111000Dn11

3分 101111n

3分

四.(本题满分12分)

解:

⑴ 由等式ABAB,得ABABEE,即

AEBEE

3分 因此矩阵AE可逆,而且AEBE.

2分

1

⑵ 由⑴知,AEBE,即ABEE

11

ABEE

或AB(BE)1

2分 1010301001200010300100101130121000 2分 2120001000010

3分 1001五.(本题满分14分)

解:

110111010221

A01a32b0321a1011101221

4分 0a10b100a10所以,⑴ 当a1时,rArA4,此时线性方程组有唯一解.2分

⑵ 当a1,b1时,rA2,rA3,此时线性方程组无解.2分

⑶ 当a1,b1时,rArA2,此时线性方程组有无穷多组解.2分

此时,原线性方程组化为

x1x2x3x40 x22x32x41因此,原线性方程组的通解为

x1x3x41x2x2x1234 xx33x4x4或者写为 x1111x2212kk

4分 x311200010x3六.(本题满分12分)

3解 AE101202123,2分

03所以得特征值12,233

2分

101对 12,解方程组A2Ex0,由A2E101,得特征向量

001011

00所以对应 12的全部特征向量为c11,c10

3分

001对 233,解方程组A3Ex0,由A3E001110r1100100000,11得特征向量 21,全部特征向量为c21,c20

3分

00A没有三个线性无关的特征向量,所以不能对角化.2分

七.(本题满分12分)

1

解:

f的矩阵为A41212 .…………2分 4因此,二次型f为正定二次型.矩阵A为正定矩阵.矩阵A的各阶顺序主子式全大于零.…………2分

而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D110,D2142,…………2分

41

D3A12412 .…………2分 4412所以,二次型f为正定二次型.D2420,且D34120

由 D2420,得 22 .

由 D34120,得 21 .

因此,得 21 .

即,二次型f为正定二次型. 21…………4分

八.(本题满分8分)

已知三维向量空间的一组基为

α11,1,0,α21,0,1,α30,1,1

求向量β2,0,0在上述基下的坐标.

解:

设向量β在基α1,α2,α3下的坐标为x1,x2,x3,则有

x1α1x2α2x3α3,2分

写成线性方程组的形式,有

1102x11x20x310

2分 0110即

x1x22x1x30,xx032得唯一解x11,x21,x31,3分,1,1.

1分 因此所求坐标为1九.(本题满分12分)

证法1:记A(1,2,,m),B(1,2,,m,),显然r(A)r(B).1°因为1,2,,m线性无关,知r(A)m

1分 2°因为1,2,,m,线性相关,知r(B)m1 1分

因此r(B)m,1分

Ax(1,2,,m)xb有解且唯一。

2分

则可由1,2,,m表示,且表示法唯一。

1分

证法2:∵1,2,,m,线性相关,∴存在不全为零的数k1,k2,,km,k,使得

……………………………… 2分 k11k22 kmmk0,若k=0,则k11k22 kmm0,∵

1,2,,m线性无关,k1k2km0矛盾。∴k≠0 kk1k122mml11l22lmm …………2分 kkk若又有bj11j22jmm

0l1j11l2j22lmjmm l1j1,l2j2,,lmjm

即可由1,2,,m线性表示,且表示法唯一.…………2分

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