量子力学7_量子力学第七章

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河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

§2-7 自由粒子本征函数的规格化和箱归一化

所谓自由粒子是在运动过程中不受外力作用的粒子，即位势U(r)0。

一、自由粒子波函数的规格化 1．一维情况

对于质量为的一维的自由粒子，它所满足的定态薛定谔方程为

d2(x)E(x)

（1）22dxˆ实际上，上述方程就是动能算符T（1）式的两个特解分别为

2d2的本征方程。22dx21(x)eikx

2(x)eikx

（2）

其中

k通解为上述两个特解的线性组合2E

（3）

(x)c11(x)c22(x)

（4）

其中，c1和c2为任意复常数。

下面利用波函数所满足的条件来定解。

首先，讨论E0的情况。由于E0，所以k为虚数，若令

则（2）可改写为 式中为正实数。

2E 1(x)ex

2(x)ex

当x0时，1(x)不能满足波函数有限性的要求，而当x0时，2(x)不能满足波函数有限性的要求，所以，1(x)和2(x)都不是描述一维自由粒子运动的定态波函数。显然，在通解中也找不出满足波函数自然条件的解，故方程无E0的解。在物理上，不存在E0的解是容易理解的，这是因为自由粒子不存在势能项，它的能量就是动能，而动能是不能小于零，故能量小于零时无解。

其次，讨论E0的情况。当E0时，k为正的实数，（2）式即为两个特解。若k的取值范围选为从负无穷到正无穷，则上面两式可以统一写成k(x)ceikx

（5）

式中，c是归一化常数，k为实数，也可以将其视为量子数，它可以在正负无穷之间连续取值，k(x)是本征波函数。由（3）式可知，相应的能量本征值为

k22Ek

（6）

2河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

显然，k表示动量。当k0 时，表示粒子向右运动；当k0时，表示粒子向左运动。由于k可以连续取值，所以，能量本征值也是连续的，称之为体系具有连续能谱。当k0时，自由粒子处于能量最低的状态，称之为基态，而把其它的状态称为激发态。对于激发态来说，k与k对应同一个能量本征值，或者说，同一个能量本征值对应两个不同的本征波函数，即能量本征值是二度简并的。

一维自由粒子的能量本征值是连续取值的，（5）所表示的波函数是无限扩展的平面波。所谓自由粒子也是一种理想的模型，实际上，一个粒子是不可能绝对不受到外力作用的，只要它受到哪怕再小的的作用，它就不是完全自由的，也就不可能对应无限扩展的平面波，而成为有限扩展的平面波，所以，无限扩展的平面波也是一种理想化的结果。鉴于上述原因，无限扩展的平面波是不能归一化的。

从数学角度看，（5）式给出的不是平方可积的波函数，无法使用归一化条件。由狄拉克函数的定义可知，积分

*kk(x)dxc(x)2expi(kk)xdx2c(kk)

（7）

2通常情况下，要对无限扩展的平面波进行所谓的规格化，也就是将其规格化为函数。于是，得到规格化常数

c1/2

（8）

规格化后的波函数为

k(x)若用动量p做为量子数，则有

12eikx

（9）

p(x)12eipx/

（10）

ˆ的本征函数。容易验证（10）式也是动量算符p2．三维情况

利用自由粒子一维定态问题的解，容易求出其三维问题的解。

在直角坐标系中，自由粒子的三维定态薛定格方程可以写成2222222(x,y,z)E(x,y,z)

（11）2xyz上式有分离变量解，(x,y,z)1(x)2(y)3(z)

（12）EEEExyz将其代回（11）式，可得如下三个方程：

2d21(x)Ex1(x)22dx2d22(x)Ey2(x)2dy2 2 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

2d23(z)Ez3(z)2dz2由（6）式可知能量本征值为

22222222kykxkkz

（13）Ek2222相应的规格化本征函数为

(r)k1exp(ikr)

（14）3/2(2)其中

kkxikyjkzk

若用动量表示，能量本征值和相应的本征波函数分别为

p（15）Ep2(r)p1iexppr

（16）

(2)3/2

二、本征函数的箱归一化

1．一维情况

若限定粒子在[L,L]的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。

在上述限制下，粒子是不可能处于箱外的，故箱外的波函数为零。在箱内，设粒子动量或动能算符的本征函数仍为

p(x)ceipx/

作自由运动的粒子出现在箱的两端处的概率应该是相同的，即

p(L)p(L)

此即所谓周期性条件。于是，有

eip2L/1

由于

2pL2pLeip2L/cosisin1

所以

2pLcos1得到

2pLsin0  3 河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

pLnpnn0,1,2,

于是动量的取值是断续的，即

Lnn0,1,2,

（17）

能量的本征值也是断续的，即

12222Enpnn

（18）222L通常把力学量本征值取断续值称为取值量子化。由上式可知，随着箱尺度L的增大，能级的间距变小，当L时，能级的间距趋向于零，或者说能级变成连续的，这正与自由粒子能量本征值是连续的相吻合。

利用归一化条件

L可知归一化常数为

L*p(x)dx2cL1 p(x)nn2c1/2L

于是，在箱内的箱归一化的波函数为

p(x)n12Leipnx/

（19）

从自由粒子规格化的能量本征函数（10）式可以看出，当x时，其本征函数不为零，或者说，在无穷远处发现该粒子的几率不为零，把这种状态称为非束缚态。由自由粒子箱归一化的能量本征函数（19）式可知，粒子被限制在箱内运动，故其出现在无穷远处（箱外）的概率为零，把这种状态称为束缚态。一般说来，连续谱对应非束缚态，而断续谱对应束缚态。

2．三维情况

对于三维问题而言，相当于粒子被限制在一个边长为2L的正方形箱子中运动，这时的波函数也是可以归一化的，此即自由粒子波函数的箱归一化。容易解得，此时的能量本征值与相应的本征波函数分别为

Enxnynzp22222(nxnynz2)

（20）222L1iexpprn

（21）3/2(2L)nnn(r)nyz其中，nx,ny,nz0,1,2,，且

pnpnxipnyjpnzk

（22）

pnxLnx

pnyLny

pnzLnz

（23）

综上所述，自由粒子的能量本征值是连续取值的，相应的本征态为非束缚态。作一维运动时，激发态能量本征值是二度简并的，且本征波函数只能规格化为函数。其位置的概率河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

密度与时间、空间坐标无关，在无穷远处发现粒子的概率不为零，意味着粒子可以在无穷远处出现。自由粒子的哈密顿算符与其动能算符一样，所以，动能算符的本征值及波函数与哈密顿算符的解是一样的。后面将看到，它们的本征波函数也是动量算符的本征波函数。若自由粒子被限制在一个边长为2L的方形箱中，则其能量本征值是断续取值的，相应的本征态为束缚态。由于粒子被限制在一定的区域内运动，严格地说，这时的“自由粒子”已经不是完全自由的，所以能量本征值从连续取值变为断续取值，此即所谓的量子限域效应。河南科技大学物理工程学院教案（李同伟）第二章 波函数和薛定谔方程

小 结

一、自由粒子波函数的规格化

d2(x)E(x)22dx能量本征值为

2k22 Ek2*kk(x)dxc(x)2expi(kk)xdx2c(kk)

2规格化后的波函数

k(x)若用动量p做为量子数，则有

12eikx

p(x)

二、本征函数的箱归一化

12eipx/

若限定粒子在[L,L]的范围内运动，则它的波函数是归一化的。当L的值很大时，可作为粒子在无穷大范围内运动的一个近似。

p(L)p(L)

12222Enpnn 22m2mL箱归一化的波函数为

p(x)n12Leipnx/

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