15套量子力学自测题及参考答案_量子力学自测题答案

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量子力学自测题（15）参考答案

一、（20分）氢原子在t=0时刻处于状态

(rˆ,0)C11ˆ)1ˆ)21(rˆ)32(r23(r 式中n(rˆ)为氢原子的第n个能量本征态。（1）计算归一化常数C=？

（2）计算t=0时能量的取值概率与平均值；（3）写出任意时刻t的波函数(r,t)。解

（1）利用归一化条件

C21112321

可知

C34 于是归一化后的波函数为

(rˆ,0)31114(r)(r)(r)213223 31381(r)42(r)83(r)（2）氢原子的能量本征值为

4Ene122n2

依题意知，能量的可能取值与相应的取值概率为

E1e422； W(E1)38 Ee41282； W(E2)4 E33e4182； W(E3)8 而能量的平均值为

23e4 EEnW(En)2222848281896n13e43e41e43（3）任意时刻t的波函数为

ˆ,t)ci(0)expEiti(rˆ) (ri13i31ii1(r)expE1t2(r)expE2t84

二、（20分）证明：

3i3(r)expE3t 8（1）若一个算符与角动量算符J的两个分量对易，则其必与J的另一个分量对易；

ˆˆˆ2与Jˆ的共同本征态JM下，Jˆ与Jˆ的平均值为零，且当M=J时，测量（2）在Jzxyˆ与Jˆ的不确定性之积为最小。Jxyˆ与角动量算符Jˆ及Jˆ皆对易，即 证明

（1）设算符Fxyˆ，JˆFˆ,Jˆ0 Fzy利用角动量算符各分量之间的对易关系

Jˆ,JˆiJˆ

xyz可知

ˆ,Jˆ1Fˆ,Jˆ,Jˆ1Fˆ,JˆJˆ1Fˆ,JˆJˆ0 Fiiizxyxyyxˆ与角动量算符Jˆ必与Jˆ及Jˆ皆对易，则算符Fˆ对易，于是问题得证。同理可知，若算符F xzxˆ2与Jˆ的共同本征态JM下，Jˆ的平均值为（2）在JzxˆJM1JMJˆJˆJM JMJx2由升降算符的性质可知

ˆJ,MJ(J1)M(M1)J,M1 J于是有

ˆJM0 JMJxˆ在JM下的平均值也为零。同理可证，算符Jyˆ的平均值为 在JM态上，算符Jx2 2 JMJˆ2xJM14JM(JˆJˆ)(JˆJˆ)JM 14JMJˆJˆJˆJˆJM12JMJˆ2Jˆ2zJM 1J(J1)M222 同理可得

JMJˆ2yJM12J(J1)M22

由不确定关系可知

(J2x)(J212y)4J(J1)M2

或者写为

JxJ12y2J(J1)M2

显然，当M=J时，上式取最小值，即

(JxJJ2y)min2

三、（20）一个质量为的粒子，在如下的三维势场中运动

0axa22Vxxa2,ax2V(x,y,z)V12 yy220bzbV22zzbb2,z2求粒子的能量和相应的本征函数。

解

定态薛定谔方程为

2222222x2yz(x,y,z)V(x,y,z)(x,y,z)E(x,y,z)利用分离变量法，若令

(x,y,z)X(x)Y(y)Z(z)

EExEyEz

则有

2d22dx2X(x)VxX(x)ExX(x)

2d2Y(y)VyY(y)EyY(y)22dy2d2Z(z)VzZ(z)EzZ(z)22dz上述三个方程的解已经求出，能量本征值是

2221222EExEyEzmkn 2222a2b22m2n21k 222a2b其中，m、n=1,2,3…；k=0，1，2…。

相应的各分量本征函数分别为

2mmsinxaa2Xm(x)0a(x)2 a(x)21Yk(y)NkHk(ay)expa2y2

22nnsinzab2Zn(z)0最后，当xb(z)2 b(z)2ab且z时，粒子的本征函数为 22mnk(x,y,z)否则为零。2mnnm122sinxzsinNkHk(ay)expay

2b2aba2的非全同粒子构成的体系，若两个粒子的自旋分别处于

2四、（20分）由两个自旋为

icosexp122；

120isinexp22的态上，求体系分别处于单态与三重态的概率。

解

依题意可知，两个粒子构成的体系处于状态ii1cos2exp22sin2exp22

cosii2exp2sin2exp2

两个自旋为2粒子的总自旋量子数S=0，1，其单态为 0012

故体系处于单态的概率为

W(S0)002122

1i212sin2exp22sin22 而三重态为

1012

11 11

体系处于三重态的概率为

1W(S1)1M2= M112sin2expi2i22cos2exp2 12sin22cos22 两者概率之和

cos22sin221

五、（20）分一个质量为，角频率为ˆx20的线谐振子，受到微扰W的作用。（1）用微扰论求能量的一级修正；

（2）求能量的严格解，并与（1）的结果比较。

解

（1）无微扰线谐振子的哈密顿算符Hˆ0满足

ˆnE0n H0n其中

10Enn0

2能量的一级修正为

(1)Ekˆkkx2k kW利用公式

mxn1ann12m,n12m,n1

可以得到

mx2nmxkkxn

k122n(n1)m,n2(2n1)m,n(n1)(n2)m,n2能量的一维级修正为

E(1)k122(2k1)k2 0能量近似到一级修正的结果为

E1kk20120 （2）为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符

Hˆpˆ21222pˆ212220xx220x2 若令

1212220 即

2020122

0则体系的严格解为

E1122k2kk012

0因是一个小量，故一级近似的结果为

1 EKk01220上式与微扰论的一级近似完全一致。

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