周世勋量子力学教案6由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“量子力学教案周世勋”。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点
一． 实验事实
1． 斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：
现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设
沿Z方向
如 在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明，对S 态 ,是空间量子化的，只有两个取向 磁矩。即自旋磁矩。2． 碱原子光谱的双线结构,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有如钠原子光谱中一条很亮的黄线 条谱线组成3． 反常塞曼(Zeeman)效应，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两
1912年，Pahen 和 Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。二． 乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设
1． 每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值
2． 每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是
为玻尔磁子
这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是
三．电子自旋的特点
乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。特点：
1． 电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。
2． 电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。
3． 电子自旋值是，而不是 的整数倍。
4．，而
两者在差一倍。
自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系
§6.2 电子的自旋算符和自旋函数
一．自旋角动量算符
在空间任意方向上的投影只能取值
（由实验所得假设）
本征值都是 ,叫自旋量子数
引入一新算符 ，由
相加
定义反对易
重要关系式
二． 自旋函数与泡利矩阵
考虑到电子具有一新的自由度：自旋角动量，电子的波函数
是（自旋向上），位置在r处的几率密度.是（自旋向下）, 位置在r处的几率密度.自旋向上的几率,自旋向下的几率.归一化条件
自旋算符应是 矩阵 , ，是厄密算符
设
为实数, ，由
取
泡利矩阵
这是 在表象中的表示，在 表象中，本征函数,当自旋和轨道运动之间无相互作用，即电子的自旋不影响轨道运动。的。
和 对 的依赖关系是一样
叫自旋函数，自旋算符仅对波函数中的有作用。
自旋与轨道运动无相互作用
自旋算符 为 矩阵，自旋算符任一函数 也是
矩阵
算符 在态 中对自旋平均为：
对坐标的自旋同时平均
§6.3 简单塞曼效应
氢原子或类氢原子处于均匀的磁场中，设外磁场足够大，（自旋与轨道相互作用忽略）由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。
沿 方向 取
体系定态薛定谔方程
或
无磁场时，对氢 对碱金属
有外磁场时：
取 即
仍是两方程的解。
时
同样
时原来不同而能量相同的简并现象被外磁场消除，能级与 有关。当原子处于
态，原来的能级 分裂为两个，正如斯特恩－革拉赫实验中所观测到的。
由选择定则
简单塞曼效应：在强磁场作用下，原来没有外磁场时的一条谱线分裂为三条。复杂塞曼效应：外磁场弱时，需考虑电子自能与轨道相互作用，能级分裂更复杂。
§6.4 两个角动量的耦合一． 角动量的对易关系
粒子既有轨道角动量又有自旋角动量，他们之间会存在耦合。
设 为体系的的两个角动量算符
分量都对易相互独立.体系的总角动量
[证明]：
即 同样有
还有
注意:
二． 无耦合表象和耦合表象
相互对易,它们有共同的本征矢组成正交归一的完全系，以这些本征矢作基矢的表象称为无耦合表象。
另一方面, { } 也相互对易,他们有共同本征矢
以 为基矢的表象称为耦合表象，两表象之间的关系
:克来布希－高登(Clebsch-Gordon)系数
三． 总角动量的取值范围
1． 的最大值 : 最大值为
最大值为
最大值为
又
2． 的最小值
对 , 给定.:
个取值
对 , 给定 :
个取值, 固定有
个
是各种的线性叠加
确定时，的数目也是，对应不同的对一个，有 个值：。的数目可以表示为
利用等差级数求和公式
又 代入方程
§6.5 光谱的精细结构
由于自旋与轨道角动量的耦合，使原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，这就产生了光谱线精细结构。1． 不考虑自旋时，无外场
本征函数，本征值
度简并
2． 考虑自旋的存在，但不考虑轨道角动量 与自旋角动量
耦合相互对易，它们有共同的本征函数，即考虑自旋后，电子的波函数由
四个量子数确定。
只与 有关，有两个取值，这时能级
引入总角动量算符:
相互对易，它们的共同本征函数
3． 考虑自旋和轨道运动之间的耦合 相互作用量：
是
度简并
.无共同本征函数，即 的本征函数，不再是的本征函数，这时:
如何描述
由于存在耦合项 ，电子态不能用量子数 描写，或者设
现在不是好量子数，不是守恒量。
又:
即
有共同的本征函数
是守恒的好量子数，的能量本征函数 怎么表示
将
看成微扰，用简并情况下的微扰理论求
求出 为的本征值
在耦合表象中是对角化的上式
即，在耦合表象中是对角化的，对角元
即为能量一级修正
自旋轨道间的耦合使原来简并的能级分裂开
只与 有关，度简并
考虑一级修正后，与 有关，度简并
给定后，即具有相同的量子数的能级有两个，它们之间的差别很小。
§6.6 全同粒子的特性
一． 全同粒子
质量，电子，自旋等固有性质完全的微观粒子为全同粒子。所以电子都是全同粒子，所以质子都是全同粒子。在经典力学中，全同粒子是可以区分的，因为粒子在运动过程中，都有自己确定的位置和轨道，经典粒子有不可入性。
在量子力学中，和每个粒子相联系的总有一个波，波在传播中总会出现重叠，在重叠部分，无法区分哪是第一个粒子，哪是第二个粒子。
二． 全同性原理：量子力学的一个基本假设
两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。即全同粒子的不可区分性。三． 全同粒子系统的特性
1． 全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
设一由 个全同粒子组成的体系，表示第 个粒子的坐标和自旋。体系的哈密顿量为
则: 2． 全同粒子的波函数有确定的交换对称性
交换算符 表示将第 个粒子和第 个粒子相互交换
由薛定谔方程：
将交换算符 作用于薛定谔方程
即：
即若 是薛定谔方程的解，则
也是薛定谔方程解。
由全同性原理，与 应描写同一状态，因而它们之间只相差一常数因子, 是守恒量，本征值为
对称函数
反对称函数
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。[ 证] 设 时刻体系波函数 是对称的，因为
对称
在 时刻也对称；由 , 在 时刻也对称,在下一时刻波函数为，也是对称函数。以此类推，在以后任何时刻波函数都是对称的。同样如果在某一时刻波函数是反对称的，以后任何时刻波函数都是反对称的。3． 玻色子和费米子
实验证明，由电子，质子，中子这些自旋为 的粒子以及自旋为 的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi)－狄拉克(Dirac)统计，称为费米子，由光子（自旋为）以及其它自旋为零，或 整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色(Bose)－爱因斯坦统计，称为玻色子。
§6.7 全同粒子体系的波函数
一． 两个全同粒子体系的波函数
无相互作用时 与
形式是相同的设 分别表示 的本征值和本征函数
设，为的本征函数即
同样
也是能量本征值为的本征函数，这叫交换简并。
是不是全同粒子的波函数？
如
对称函数
如
不对称
为此我们构成对称的或反对称的函数，它应是 对称函数：的组合反对称函数：
都是的本征函数，本征值为
如 是归一化的波函数
即
同样
因此归一化的对称，反对称的波函数为
二． N个全同粒子的体系
粒子间无相互作用，设本征值为 的 的本征函数为, 则
设
无相互作用的全同粒子所组成的体系的哈密顿算符，其本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积，本征能量等于各粒子本征能量之和。这样，解多粒子体系薛定谔方程的问题，就归结为解单粒子薛定谔方程： 对玻色子组成的全同粒子体系，体系波函数是对称的P表示N 个粒子在波函数中的某一种排列
是处于 态的粒子数，对费米子组成的全同粒子体系，体系的波函数是反对称的三． 泡利不相容原理
对费米子组成的全同粒子体系，如有两个单粒子态相同，比如第i个粒子和第 j个粒子处于同一态。
又 应是反对称函数
必有
从行列式看，两个单粒子态相同，就是行列式中两行相同，行列式为零。这表示不能有两个或两个以上费米子处于同一状态，这就是泡利不相容原理。
注意：泡利不相容原理不是什么新的原理。它实质上是全同性原理的体现，是全同费米子体系具有交换反对称性的必然推论，全同性原理比泡利原理广泛得多，它不仅适用费米子，而且适用于玻色子。四． 自旋的影响
考虑到粒子的自旋，体系波函数可写成坐标与自旋函数之积，对费米子，例：设有三个全同粒子，可以用指标 称态函数。
表示三个不同单粒子态，写出全同粒子对应的对称态波函数和反对[解] ①
②
③
反对称
§6.8 两个电子的自旋函数
如无自旋时相互作用，对称函数
不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数，定义总的自旋角动量
下面求 的本征值
同理
同样
两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向。
两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向。
两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴分量平行。
两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。
第六章 小结
一． 自旋 1．自旋的引入
电子的自旋是在实验事实的基础上以假设方式提出的。
实验事实：
① 原子的精细结构 ② 塞曼效应 ③ 斯特恩－盖拉赫实验
假设：① 2．自旋特性
（任意方向）②① 内禀属性 ② 量子特性，不能表示为 3．自旋算符与泡利算符
③满足角动量的一般对易关系，自旋算符的对易关系，泡利算符对易关系
4．电子自旋态矢量与泡利矩阵
共同本征函数 ，在 表象中(泡利表象）
可表示为 矩阵：
在泡利表象，任一自旋态为
既有自旋运动又有电子空间运动，自旋与轨道无相互作用5．两个电子体系的自旋函数 , , ,二．两个角动量的耦合两独立角动量:
总角动量: 总角动量的基本关系:
即 它们可构成共同本征矢
以
为基矢的表象叫耦合表象 也相互对易,构成完备基
以 为基矢的表象叫无耦合表象
二种表象的关系
--克来布希－高登系数
三． 碱金属原子光谱的精细结构，塞曼效应
碱金属原子光谱的精细结构：由于自旋与轨道角动量的存在，而产生耦合，在无外场的情况下，原来一个能级分裂成一组不同j值的能级。
不考虑自旋与动量耦合度
度（考虑自旋）
简单塞曼效应：在强磁场中（不考虑自旋与轨道角动量耦合），由于自旋的存在而产生的能级分裂现象。若在弱磁场中，需考虑自旋与角动量的耦合，分裂比较复杂,称为复杂塞曼效应。四． 全同粒子
1． 什么是全同粒子？（质量，电荷，自旋等）相同的微观粒子 两大类: 费米子，玻色子
2． 全同性原理：两个粒子的相互代换不引起物理状态的改变全,同粒子在重叠区的不可分性。3． 由全同性原理推出的一些基本结果:
①全同粒子体系的哈密顿量对任意两个粒子的互换不变。
②全同粒子体系的物理状态对于两个粒子互换不变，即:全同粒子体系的状态波函数不因二粒子互换而变。，全同粒子体系的状态波函数只能是对称波函数或反对称波函数，费米子组成的全同粒子体系由反对称波函数描述，玻色子组成的体系由对称波函数描述。
全同性原理是一个假设，但它得出的结果与实验相符，从而作为量子力学的一条基本原理而保留。它说明，全同粒子的状态波函数不仅要满足薛定谔方程，而且要满足一定对称性。4． 全同粒子体系状态波函数的构成对称波函数：
反对称波函数：
5． 泡利不相容原理
不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，它是全同性原理的自然推论。
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