0907线性代数真题及答案_线性代数考题及答案

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全国2009年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184 试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵;R(A)表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是(C)．．．A.（A+B）T=AT+BT C.A(B+C)=BA+CA a112.已知a21a31a12a22a32a132a11a23=3，那么a21a332a312a12a222a32B.|AB|=|A||B| D.(AB)T=BTAT 2a13a23=(B)2a33A.-24 C.-6

B.-12 D.12

3.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（C)A.A=1A* AB.A0

C.(A2)1(A1)2 D.(3A)13A1

41312021234.若A=，B=，C=2矩阵的312，则下列矩阵运算的结果为3×15221是(D)A.ABC C.CBA

B.ACTBT D.CTBTAT

5.设有向量组A：1，2，3，4，其中1，2，3线性无关，则(A)A.1，3线性无关

C.1，2，3，4线性相关

B.1，2，3，4线性无关 D.2，3，4线性相关

浙04184# 线性代数（经管类）试题

6.若四阶方阵的秩为3，则（B)A.A为可逆阵

C.齐次方程组Ax=0只有零解

B.齐次方程组Ax=0有非零解 D.非齐次方程组Ax=b必有解

7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是(B)A.A的行向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关

8.下列矩阵是正交矩阵的是（A)010010A.

0011011110B.2011B.A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

cosC.sinsin

cosD.220221666106333

3339.二次型fxTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（D)A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

0k010.设矩阵A=0k2正定，则(C)024B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

A.k>0 C.k>1 1:D1k0;2:D2k00k0k20;0kB.k0 D.k1 3D3k1k20k2kk4k44kk10

2402

4二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

浙04184# 线性代数（经管类）试题

1211263.11.设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=63。

ATB32,11221121012.若1310,则k-1。

k21210210211311312k1k10.k1.k11k21k110120060*630。20013.设A=，则A=214013120121*A2003120.A可逆.A1A20A0131A*AA1.而A,E320012011②401012-14013001③3201001②+(-2)①0001000130010①+(-2)②1000③+(-1)②001012003121201004021013001120-140141

12012010000060101012-140.A112-14063012001161121316112132140600601A*AA112630630.1221421414.已知A2-2A-8E=0，则（A+E）-1=A22A8E0.1A3E。5A22A3E5E015AEA3E5E.11AEA3EE5A3EAEE.AE 1A3E5浙04184# 线性代数（经管类）试题

15.向量组1(1,1,0,2),2(1,0,1,0),3(0,1,1,2)的秩为___2。

将三个向量的转置向量拼成一个43的矩阵，化简此矩阵11A021011011③+1②+(-1)①01②01101④+(-2)①④+(-2)②0110011020220001.rA2.0016.设齐次线性方程Ax=0有解，而非齐次线性方程且Ax=b有解,则是方程组____Ax=b的解。

x1x2017.方程组的基础解系为11。

x2x301___1。18.向量(3,2,t,1),(t,1,2,1)正交,则t__________t1,3,2,t,13t22t1t10.t1.211

103b119.若矩阵A=与矩阵B=相似，则x=4ab。304axAB103b143xabx4ab.04ax31232122220。20.二次型f(x1,x2,x3)x12x23x3x1x23x1x3对应的对称矩阵是123203

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）1340403521.求行列式D=的值。

20227622

浙04184# 线性代数（经管类）试题

13404035解D20227622④+2①13402090403522624351213222按

解：把所有行向量转置为列向量形成44的矩阵，并将其化为简化阶梯形矩阵.2354115302640264③①TTTA1T,2,3,41153235431953195115311531②③+2①02640132④+3①20515100515100264026410211021①+1②1①③+5②01320132④+2②1②记为,,,B.13420000000000000000显然B是A的简化阶梯形矩阵.易见：B的秩为2，从而A的秩为2,原向量组的秩为2.易见：B的列向量组的一个极大线性无关组为1,2.TA的列向量组的一个极大线性无关组为1T,2;从而1,2是原向量组的一个极大线性无关组.24.求取何值时,齐次方程组 (4)x13x20

4x1x30

5xxx0123

有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解。

浙04184# 线性代数（经管类）试题

解方程的个数与未知量的个数相同，考察系数矩阵A是否为可逆矩阵.43A450011430③+1②41010按

631解A的特征方阵EnA053.A的特征方程为0641EnA006353253=-1-1-122-1205-4186464得1=2=1，3=-2，为A的两个特征值.用来求特征向量的矩阵方程为63x101x16x23x301053x0,即齐次线性方程组E3Ax5x23x30.20x0646x24x303属于121的特征向量满足线性方程组6x23x30,即x32x23个未知量1个方程,必有2个自由未知量,不妨取x1、x2为自由未知量，10x110令或，则x30或2，于是得2个线性无关的特征向量p10，p21.x201023x16x23x30属于32的特征向量满足线性方程组为3x23x30.,即x1x2x3,6x26x303个未知量2个方程,必有1个自由未知量,不妨取x1为自由未知量，令x11,则x21,x31,1于是得1个线性无关的特征向量p31.122226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)x14x2x32x1x34x2x3的标准形，并写出相应的线性变换。

222解二次型f(x1,x2,x3)x124x2x32x1x34x2x3x122x1x3x34x224x2x3x32x322x1x32x2x3x322x1y1y3y1x1x31设y22x2x3，即x2y2y3，2yx33x3y3222可使得f(x1,x2,x3)x1x32x2x3x3g(y1,y2,y3)y12y2y3.即二次型的标准形；221y1x110此时相应的线性变换xPy为x201212y2.x0013y3

浙04184# 线性代数（经管类）试题

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.证明：若向量组1,2,n线性无关,而11n,212,323,,nn1+n，则向量组1,2,,n线性无关的充要条件是n为奇数。

证设k11k22knn0.将已知条件代入得k11nk212k323knn1n0.整理得k1k21k2k32kn1knn1knk1n0.1,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10.k1k2k3k4knk1,当n为奇数，则n1为偶数,则上式为k1k2k3k4kn1knknk1.由此knkn0,k1k2k3k4kn1kn0.因此,1,2,,n线性无关.反之,若1,2,,n线性无关,即当且仅当k1k2k3k4kn1kn0时,等式k11k22knn0才成立,k11nk212k323knn1n0k1k21k2k32kn1knn1knk1n01,2,n线性无关,k1k2k2k3kn1knknk10k1k2k3k4knk1,当n为偶数时,令k1k2k3k4kn1,则1234n1n0也成立,这与条件不符.当n为奇数时,则n1为偶数,则有k1k2k3k4kn1knknk1，立得k1k2k3k4kn1kn0,等式k11k22knn0才成立，这与条件完全相符.证毕.浙04184# 线性代数（经管类）试题

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