线性代数试卷及答案1_线性代数试卷及答案

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一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案填在题中横线上）

31（1）三阶行列式

111311113111______________________.1

312121（2）设A,B11，则AB______________________.10111（3）已知(1,2,3)T,(1,1,1)T，则T_____.5001（4）设A031，则A________.021

121313,5，且线性方程组Ax无解，则a_____.（5）设A21

40a216

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．计算n级行列式10

11110111110111110。111

2022．设三阶方阵A和B满足关系式AB2AB,且A040,求(AE)1。202

3．求下面线性方程组的通解

x1x2x3x40x1x2x33x41

xx2x3x0.5341

2三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．设1(1,1,1),2(1,2,3),3(1,3,t)。

（1）问当t为何值时，向量组1,2,3线性无关？

（2）当t为何值时，向量组1,2,3线性相关？

（3）当向量组1,2,3线性相关时，将3表示为1和2的线性组合。

x1x2x31

2．为何值时，线性方程组x1x2x3

xxx

2312

（1）有惟一解？（2）无解？（3）有无穷多个解。

四、证明题（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

1．设b13a12a2,b2a2a3,b34a35a1，且a1,a2,a3线性无关，证明：向量组

b1,b2,b3也线性无关。

2．设A为n阶可逆矩阵A的伴随矩阵，证明：AA

填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）

**

n

11110.500



222011

333023

；；2（1）48(2)；（3）（4）（5）1

二、计算题（本题共3小题，每小题10分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）1.解：

0111

11011111111

1101110111

11011

11101

1111011101

n1n1n1n1n11

11111110

…………………………………………………….（6分）

0111

1011



1101

1110

………….（3分）



(n1)



(n1)

000

11000



10001

……………………………………………..…….（9分）

100



1

(1)n1(n1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

(AE)(B2E)2E……….（5分）

001

1(AE)1(B2E)010

2100…………………………………（5分）

3．解

对方程组的系数矩阵

A作初等行变换, 有

111012

1111010012

211131

00000111232

由此得基础解系为

………（5分）

T

(1,1,0,0)(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

(,0，0)T

特解为

（8分）

于是所求方程组的通解为

1212

xk11k22, 其中1

k,k2,k

3为任意常数………….（10分）

三、解答题（本题共2小题，每小题15分，满分30分，要求写出演算过程或步骤）

1．解：设有数组

k1,k2,k3，使k11k22k330，k1(1,1,1)k2(1,2,3)k3(1,3,t)(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程组

k1k2k30,

k12k23k30,k3ktk0

23

1其系数行列式

……………………………………（3分）

D23t

53t………………………………………………………….（4分）

（1）当

t5

时，D0，方程组只有零解：

k1k2k30

。此时，向量组

1,2,

3线性无

关。………………………………………………………………………………（5分）

（2）当

t5时，D0，方程组有非零解，即存在不全为0的常数k1,k2,k3，使k11k22k330。此时，向量组

1,2,3线性相关。……………….（5分）

（3）当

t5时，方程组的系数矩阵的秩小于3。由左上角2阶子式不为零可知，系数矩阵的秩等于2。因此，取方程组①的前2个方程

k1k2k30,

k12k23k30,令

k31，解得k11,k22，即12230，从而3122。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

11

110,111,2时，方程组有唯一解。………………（5分）（1）即

121111



11011(1)

211200(1)(2)(1)(1)，（2）

则当

2时，方程组无解。…………………………………………….（5分）

111

xk11k200

010。1（3）当时，方程组有无穷多个解，通解为

…………………………………….（5分）

四、（本题共2小题，每小题10分，满分20分，）

305



210b1,b2,b3a1,a2,a3014…………………….（4分）

1．证明：因为

且a1,a2,a3线性无关…………………………………………………………（6分）

5210220

又01

……………………………………………….（8分）

故向量组b1,b2,b3也线性无关………………………………………………….（10分）

*1

2．证明：因为

AAA…………………………………………….（4分）

|A*||A1|n

1

所以

……………………… ……….（8 分）

A

n1

…

…………………………….10分）（

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