数列的性质证明_等差数列的性质的证明

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只有三种形式:

x(n)=x(n-1)+F(F是关于N的函数)用累加法

x(n)/x(n-1)=G(G是关于N的函数)用累积法

x(n)=Ax(n-1)+B

x(n)取倒数后是上述情况

等差数列an依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

对此条性质进行证明Sk=ka1+k(k-1)d/2

S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2

S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2

S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2

(S2k-Sk）-Sk=k^2*d

(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d

所以

等差数列an依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

证明.项数为奇数2n-1的等差数列｛an｝有(1)S奇－S偶＝an

(2)s奇／S偶＝n/n-1.证明：由题意令此数列公差为d，则:a(n+1)-an=d,即an-a(n+1)=d

又由通项公式得：a(2n-1)=a1+(2n-2)d=an+(n-1)d

S奇－S偶＝(a1-a2)+(a3-a4)+...+(a(2n-3)-a(2n-2))+a(2n-1)

=(n-1)*(-d)+an+(n-1)d

=an

求前2n-1项和得：S(2n-1)=S奇+S偶＝(2n-1)[a1+a(2n-1)]/2

又a1+a(2n-1)=2an,则：

S奇+S偶＝(2n-1)*an=(2n-1)*(S奇-S偶)

即：2nS奇＝(2n-2)S偶

所以：s奇／S偶＝2n/（2n-2)=n/(n-1)

证明.项数为偶数2n的等差数列｛an｝有(1)S奇－S偶＝nd,(2)s奇／S偶＝an/an+1

(3)S2n=n(a1+a2n)=~~~=n(an+an+1)

[an与an+1为中间两项】

证明：（1）S奇=a1+a3+…+a(2n-1)，共n项(2n-1为下标）

S偶=a2+a4+…+a2n，共n项(2n为下标）

S偶－S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+[a2n-a(2n-1)]=nd

(2)S奇=A1+A3+A5+……+A(2n-3)+A(2n-1)

S偶=A2+A4+A6+……+A(2n-2)+A2n

如果n为奇数

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-2)+A(n+2)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=A(n-1)+A(n+3)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

如果n为偶数

A1+A(2n-1)=A3+A(2n-3)=……=A(n-1)+A(n+1)=2An

A2+A2n=A4+A(2n-2)=……=An+A(n+2)=2A(n+1)

S奇=nAn

S偶=nA(n+1)

S奇/S偶=An/A(n+1)

(3)项数为偶数，所以都可以配对，共有N对

p,q,r,s为下标，当p+q=r+s时，有ap+aq=ar+as,所以a1+a2n=a2+a2n-1=…=ak+a(2n-k+1)……=an+an+1,这n对的值都相等 所以S2n=n(a1+a2n)=……n(ak+a(2n-k+1)=……=n(an+an+1)

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