0Bbddkc《数学分析》8收敛数列的性质_收敛数列的性质

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七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲《尘缘》，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。

-----啸之记。

§２ 收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。教学难点：数列极限的计算。教学方法：讲练结合。教学程序：

 引 言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limana的方法，这是极限较基本的内容，要

n求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性）若数列an收敛，则它只有一个极限。性质２（有界性）若数列an收敛，则an为有界数列。

n注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列(1)有界，但它不收敛。

性质３（保号性）若limana0（或a0），则对任何a(0,a)（或a(a,0)），存在正数nＮ，使得当nN时有ana（或ana）。

性质４（保不等式性）设数列an与bn均收敛，若存在正数N0，使得当nN0时有anbn，则limanlimbn。

nn思考：如果把条件“anbn”换成“anbn”，那么能否把结论换成limanlimbn？

nn保不等式性的一个应用：

例 设an0(n1,2,3,)，证明：若limana，则limannna.思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？

性质５（迫敛性）设收敛数列an、bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N0，当nN0时有ancnbn，则数列cn收敛，且limcna.n注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。下面是其应用一例： 例 求数列n的极限。n性质６（极限的四则运算法则）若an、bn为收敛数列，则anbn,anbn,anbn也都收敛，且有

lim(anbn)ablimanlimbn;nnnlim(anbn)ablimanlimbn.nnn若再做假设bn0及limbn0，则数列nan也收敛，且有 bnananalimnlim.nbblimbnnn特别地，若bnc，则lim(anc)limanc，limcancliman.nnnn在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例；

amnmam1nm1a1na0例 求lim，其中mk,am0,bk0.nbnkbnk1bnbkk110例 求liman，其中a1.na1nn例 求limn(n1n).例 求lim111.22nn2(n1)(2n)二

数列的子列

１． 引言

极限是个有效的分析工具。但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道an没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。２． 子列的定义

定义１

设an为数列，nk为正整数集N的无限子集，且n1n2n3nk，则数列

an1,an2,,ank,

称为数列an的一个子列，简记为ank.注1

由定义可见，an的子列ank的各项都来自an且保持这些项在an中的的先后次序。简单地讲，从an中取出无限多项，按照其在an中的顺序排成一个数列，就是an的一个子列（或子列就是从。an中顺次取出无穷多项组成的数列）注2 子列ank中的nk表示ank是an中的第nk项，k表示 ank是ank中的第k项，即ank中的第k项就是an中的第nk项，故总有nkk.特别地，若nkk，则ankan，即ankan.注3 数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为an的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为an的非平凡子列。

如a2k,a2k1都是an的非平凡子列。由上节例知：数列an与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。

那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理

数列an收敛an的任何非平凡子列都收敛。

由此定理可见，若数列an的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列an一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。



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