直线的平行与垂直教学设计

第1篇：两条直线平行与垂直

两条直线平行与垂直

2010-5-1

4教学目标：

知识与技能：通过本节课的学习掌握用代数的方法判定两直线平行或垂直的方法。

过程与方法：利用两条直线平行，倾斜角相等这一性质，推出两条直线平行的判定方法，即l1∥l2k1k2 又利用两条直线垂直时，倾斜角的关系“12900和几何画板进行验证得到两条直线垂直的判定方法，即l1l2k1.k21并且对特殊情况进行研究。情感、态度与价值观：通过本节课的学习，可以增强我们用“联系”的观点看问题，进一步增强代数与几何的联系，培养学好数学的信心。

教学重难点：

重点：揭示“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间的关系难点：“两条直线平行（垂直）”与“斜率”之间关系的探究 教学过程：

一、引入

我们在初中已经学习了同一平面内两条直线的位置关系并且学习两条直线平行（垂直）的判定方法，为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度，我们引入了直线倾斜角与斜率的概念，并导出了计算斜率的公式，即把几何问题转化为代数问题。那么，我们能否通过直线l1,l2的斜率k1、k2来判断两条直线的位置关系呢？我们约定：若没有特别说明，说“两条直线l1与 l2”时，一般是指两条不重合的直线。

二、两条直线平行的探究

1．两直线平行的充要条件的推导

设直线l1和l2是有斜率的两条直线，方程分别为l1：yk1xb1，y l2：yk2xb2，l

1l21 2x O

若l1//l2，则b1b2，且它们的倾斜角相等（如图），即12，∴tan1tan2∴k1k2，若b1b2且k1k2，则tan1tan2，∵01180，0021800，∴12，∴l1//l2．

归纳：当直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb

2时，直线l1//l2的充要条件是k1k2且b1b2；直线l1和l2重合的充要条件是k1k2且b1b2．2．设直线l1和l2有方程l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，（1）当B10，B20时，则k1

b2

C2B2

A1B1，k2

A2B2，b1

C1B1，∵l1//l2的充要条件是k1k2且b1b2，∴

A1B1

=

A2B2

且

C1B1



C2B2，即

A1A2



B1B2



C1C2

A2B2C20（有时

用于判断比较方便），即A1B2A2B10且B1C2B2C1．

（2）当B10，B20时，满足A1B2A2B10，此时，l1：x

l2：x

C2A2

C1A1，C1A1

∴l1//l2的充要条件是



C2A2，即A1C2A2C1．

归纳：当直线l1和l2有方程l1：A1xB1yC10，l2：

A2xB2yC20时，直线l1//l2的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C1或A1B2A2B10且A1C2A2C1．

直线l1和l2重合的充要条件是：A1B2A2B10且B1C2B2C1；

或A1B2A2B10且A1C2A2C1

三、两条直线垂直的探究 观察图：

探究1：这两条直线的倾斜角有什么关系？能够得到什么结论？12900l1l2k1.k2

1注：上面的结论永远成立吗？

一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零时，上面结论不成立

垂直归纳结论：

（1）已知直线l1和l2的斜率分别是k1和k2，且均不为0，则l1l2k1k21；

（2）已知直线l1和l2的斜率中有一个为0，则l1l2另一个的斜率不存在；

（3）已知直线l1和l2的方程分别为：l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20

则l1l2A1A2B1B20．

四、典例练讲例1．（1）过点（1，-4）且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程。

（2）求过点（2，1）且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程。分析：求出斜率，利用点斜式代入即可。

一般情形：平行直线系：

1、与直线ykxb平行的直线系：ykxb1b1b

与直线AxByC0平行的直线系：AxByC10C1C

2、与直线ykxbk0垂直的直线系：y

1kxm

与直线AxByC0垂直的直线系：BxAym0 例2．已知直线l1:mxy(m1)0与直线l2:xmy2m0。（1）当m为何值时，两直线平行？（2）当m为何值时，两直线

重合？

变题：已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.

分析： 对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0l1∥l2，

当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-1m

x-

6m，l2：

y=2m

3m

x

23，①当-

②当



③当



≠2m即m≠-1，m≠3时，l1与l2相交.

3m

m

1m6m1m6m

222



2m3m23，即m=-1时l1∥l2.





2m3m23，即m=3时，l1与l2重合.



综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当

m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时，l1与l2重合.

题后反思 判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.

例3．如图在路边安装路灯，路宽MN长为23米，灯杆AB长2.5米,且与

灯柱BM成120角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直,当灯柱

BM高为多少米时, 灯罩轴线AC正好通过道路路面的中线?(精确到0.01米)

分析：见课本81页。

小结：1:两条直线平行与垂直的判定条件

运用如何判断两条直线的位置关系和四边形或三角形的形状

教学流程及板书设计：

第2篇：两直线平行与垂直

两条直线的平行与垂直导学案

姓名班级主编：李潭潭审编：李平原

学习目标

1． 掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；

2． 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯． 学习重点与难点

本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

教学过程

问题情境

斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？ 首先看两直线平行的情况：

——两条直线（斜率存在）平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？——如果两条直线的斜率相等，那么它们平行吗？

一、学生活动、建构数学

探究：两条直线平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？

二、数学理论、数学运用

两条直线平行的条件

一般地，设直线l1，l2（不重合，斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则

说明：

（1）如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，从而l1//l2；

（2）在利用以上结论判断两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．

（3）若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1，A2，B1，B2全不为零）平行，那么两直线平行的等价条件为.两条直线重合的等价条件为

欢中高二数学导学案-1-

例1（课本P78例1）

求证：顺次连结A（2，−3），B（5，

7），C（2，3），D（−4，4）四点所得的四边形

2是梯形．

例2（课本P79例2）

求过点A（2，−3），且与直线2x+y−5=0平行的直线的方程.练习：课本82页：1,2

再看直线垂直的情况：若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）一．学生活动

如图：作出两个直角三角形。（直角边分别平行于坐标轴）

PQ

ST

=k2设l1、l2的斜率为k1、k2，则：=k1，QRPS

由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ）故

STQR

= PSPQ

从而k1=－

即k1k2=－1 k

2反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。

二．数学理论：

因此，我们得到：

当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。即：还有其他的证明方法吗？（运用三角函数解决）

思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？

若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。逆命题同样成立。三．理论应用： 例3：（1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)求证：AB⊥CD

(2)已知直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，－2)，4B（0,a＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值

例4.如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直：

2x3y75x2y5（1）（2）

3x2y42x5y3

（3）

2xy5x

3（4）

6x3y4y0

如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B

2结论：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，则A1A2+ B1B2＝0

例5在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）

四．课堂小结：

1.直线平行与垂直的条件（用斜率刻画）

2.直线平行与垂直的条件（在一般式下的表达）

五．课后反思：六．课外作业

1、直线mx+y−n=0和直线x+my+1=0平行的条件是

2、分别求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0平行

（2）经过点C(2,-3), 且平行于过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线；

3.求与直线3x+4y+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程。

4、已知直线a与直线m：2x+3y-5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线a的方程

5、求经过点M(-2,1)且与点A(-1,2)、B(3,0)距离相等，又不与直线AB相交的直线方程6.（1）过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为.（2）直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a-1=0垂直，则a=.7.已知直线l1经过点A(2,a),B(a1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(2,a2),（1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1l2,求a的值。

第3篇：两条直线的平行与垂直教学设计

两条直线的平行与垂直教学设计

两条直线的平行与垂直教学设计

教学目标

(一)知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．

(三)学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾

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第4篇：两直线垂直与平行的判定教学设计

§3.1.2两直线平行与垂直的判定

授课类型：新授课

授课对象：高二（1）班 教学目标：

1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行

2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题

3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题

4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性

教学重点、难点：

1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导

3、渗透分类讨论的重要数学思想

教具：多媒体课件三角板

教学方法：讲授法探究法

教学进程：

一、知识回顾导入新课

1、倾斜角（定义、范围）

2、斜率kktan(90)

3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k0y2y1(x1

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第5篇：《平行与垂直》教学设计

教学目标：

1、结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。

2、通过讨论交流，和谐发展独立思考能力与合作精神。

3、在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。

4、培养学以致用的习惯，体会数学的应用与美感，激发学习数学的兴趣、增强自信心。

教学重、难点：

通过自主探究活动，初步认识平行线与垂线。

教学实录：

片段一：

1、谈话导入。

1）我们曾经一起学习过有关数的产生，知道了数字和数都是人们在生产劳动、日常生活中逐渐发明和发展的。其实不仅仅是数字，我们已经学习过的、正在学习的、以及以后将要学习的数学知识都是从生活、劳动中来的，而且学习这些知识又能更好地为生活、生产服务，所以学好数学是一件非常重要的事情，因为它在生活生产中都会用到。同时又是一件非常有趣的事情，因为生活中有很多蕴含数学知识的事例

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第6篇：垂直与平行教学设计

垂直与平行教学设计

（人教版四年级上册）

xx小学 Xxx

2011年9月26日

垂直与平行教学设计

教学内容：

义务教育课程标准实验教科书《数学》（四年级上册）第64～65页。教学目标：

1、引导学生通过观察、讨论感知生活中的垂直与平行的现象。

2、帮助学生初步理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种位置关系，初步认识垂线和平行线。3、学生的空间观念及空间想象能力得到培养，引导学生树立合作探究的学习意识。教学重点：

正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学难点：

相交现象的正确理解。（尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解）教具、学具准备：

课件、两根筷子、水彩笔、尺子、三角板、白纸一张 教学过程：

一、情境创设、感知关系。

1、复习：同学们，前面我们已经认识了直线，谁能说说直

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