勾股定理教学设计_勾股定理单元教学设计

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17.2 勾股定理的逆定理

文峰中学数学 宋宏训

知识精点

1．勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足关系式a2b2c2，则这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理的作用：判断一个三角形是不是直角三角形． 3．用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题． 重、难、疑点

重点：掌握用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形，或两条直线是否垂直．

难点：用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题． 疑点：如何将实际问题转化为直角三角形的判定问题． 典例精讲

例1 试判断：三边长分别为2n22n,2n1,2n22n1(n0)的三角形是不是直角三角形？

方法指导：先确定最大边，再用勾股定理的逆定理判断． 解：∵(2n22n1)(2n22n)10，(2n22n1)(2n1)2n20(n0)，∴2n22n1为三角形的最大边．

又∵(2n22n1)24n48n38n24n1，(2n22n)2(2n1)24n48n38n24n1，∴(2n22n1)2(2n22n)2(2n1)2．

由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．

方法总结：判定一个三角形是否是直角三角形，先确定最大边，再看最大边的平方是否是另两边的平方和．若是则是直角三角形，反之不是．

举一反三

试判断：三边长分别为m2n2,2mn,m2n2(mn0)的三角形是不是直角三角形？

解：∵m>n>0，∴m2n22mn,m2n2m2n2． ∴m2n2为三角形的最大边，又∵(m2n2)2(2mn)2m42m2n2n44m2n2，(m2n2)2m42m2n2n44m2n2，∴(m2n2)2(2mn)2(m2n2)2．

由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．

例2 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF1CD．求证：△AEF是直角三角形． 4

方法指导：要证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证AE2EF2AF2即可．

解：证明：设正方形ABCD的边长为a，则BECEDF3A． 411，CFa，24在Rt△ABE中，由勾股定理得：

15AE2AB2BE2a2(a)2a2．

24同理在Rt△ABE中，由勾股定理得：

3252AF2AD2DF2a2(a)2a．

416在Rt△CEF中，由勾股定理得：

115EF2CE2CF2(a)2(a)2a2．

2416∴AF2AE2EF2． ∴△AEF是直角三角形．

方法总结：利用代数方法，计算三角形的三边长，看它们是否符合勾股定理的逆定理，以判断三角形是否是直角三角形，这是解决几何问题常用的方法之一．

举一反三

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2，求∠DAB的度数．

解：连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，∴∠BAC=45°，AC2AB2BC2161632．

在△ADC中，AD2AC243236CD2，∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°． ∴∠DAB=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．

例3 如图，△DEF中，DE=17cm，EF=30cm，EF边上的中线DG=8cm，求△DEF的面积．

方法指导：利用勾股定理的逆定理解题． 解：∵EF=30cm，∴EG1EF15cm，2∵DE2172289，DG28264，EG2152225，∴DE2DG2EG2．

∴△DGE是直角三角形，即DG⊥EF，∴SDEF1EFDG120cm2． 2方法总结：利用勾股定理的逆定理可证两线垂直．

举一反三

已知如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=10，CD=6，求四边形ABCD的面积．

解：延长AD、BC交于点E．

在Rt△ABE中，∠B=90°，∠A=60°，AB=10，∴AE=20． 由勾股定理可得：

BEAE2AB2103，∴SABE110103503． 2在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠E=30°，CD=6，∴CE12,DECE2CD263． ∴SCDE1663183． 2∴四边形ABCD的面积为：503183323．

例4 已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断△ABC的形状．

方法指导：要判断三角形的形状，应从已知条件入手，分析各边之间的关系，从而得出正确结论．

解：∵a2c2b2ca4b4，∴(a2b2)c2(a2b2)(a2b2)． ∴(a2b2c2)(a2b2)0． ∴a2b2c20或a2b20． 当a2b2c20时，有a2b2c2．

由勾股定理的逆定理知，此时三角形是直角三角形； 当a2b20时，有a=b，此时三角形是等腰三角形． 综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形．

方法总结：此题易犯的错误是由(a2b2)c2(a2b2)(a2b2)得a2b2c20，漏掉a2b20这种情况，从而漏掉等腰三角形这种可能性．

举一反三

若△ABC的三边满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断△ABC的形状．

解：∵a2b2c233810a24b26c，∴a2b2c233810a24b26c0． ∴(a5)2(b12)2(c13)20． ∴a=5，b=12，c=13．

∴a2b2c2，∴△ABC是直角三角形．

例5 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

方法指导：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题． 解：∵在Rt△BCD中，BC=4，CD=3，∴由勾股定理得：

BD2BC2CD2423225，即BD=5．

在△ABD中，∵BD=5，AB=13，AD=12，∴AB2AD2BD2，由勾股定理逆定理知：△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴AD⊥BD．

方法总结：判断三角形中的垂直或证明三角形是直角三角形的时候，应用勾股定理的逆定理，只要满足表达式的形式，就可判断三角形是直角三角形．

举一反三

如图，在△ABC中，AD⊥BD，垂足为D，AB=25，CD=18，BD=7，求AC．

解：在Rt△ADB中，AB=25，BD=7，由勾股定理得：AD2AB2BD225272576． ∴AD=24．

在Rt△ADC中，∵AD=24，CD=18，∴ACAD2CD224218230．

例6 如图，已知△ABC中，AB=AC，D为BC上任一点，求证：AD2BDDCAB2．

方法指导：证明线段的平方关系，应注意到勾股定理的表达式里有平方关系，因此需要构造直角三角形，从而为用勾股定理创造前提条件． 解：过点A作AE⊥BC于E． ∵AB=AC，∴BE=EC．

又∵AE⊥BC，∴AB2AE2BE2，AD2AE2ED2．

∴AB2AD2BE2ED2

(BEED)(BEED)(ECED)(BEED)CDBD．

∴AD2BDDCAB2.方法总结：构造直角三角形是解决几何问题的常用方法和手段，往往是通过作高来构造直角三角形．在解决问题的过程中，代数和几何的知识经常结合应用．

举一反三：

如图所示，DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求BD2CE2．

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