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勾股定理教学设计
教材分析:
勾股定理是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十章七的内容。勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。学情分析: 针对八年级学生的知识结构、心理特征及学生的实际情况，可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
教学目标:
（一）知识与技能
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。
2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3、通过具体的例子，了解定理的含义；了解逆命题、逆定理概念；知道原命题成立其逆命题不一定成立。
（二）过程与方法
1、让学生经历用面积法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜想、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
（三）情感态度与价值观
1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。教学重点: 勾股定理、逆定理及运用 教学难点: 勾股定理及逆定理的探索过程
第1课时
教学内容: 勾股定理 教学过程:
一、创设情景、引入课堂。欣赏图片 了解历史
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案。（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？（学生观察图片发表见解）
从现实生活中提出“赵爽弦图”，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情，同时为探索勾股定理提供背景材料。
二、学习新知：
（一）、探索勾股定理。毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性．
（1）现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？
（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
（3）你有新的结论吗？（在独立探究的基础上，学生分组交流）。
（二）、在上面探索的基础上总结出定理的内容。
定理：如果直角三角形的两直角边长分别 为a，b，斜边为c，那么a2b2c2
（三）、证明勾股定理：（教材P23中古代人赵爽的证法）
是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面，我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
（1）以直角三角形ABC的两条直角边a、b为边作两个正方形．你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
（2）面积分别怎样表示？它们有什么关系呢？
三、总结反思、布置作业
1、本节课你有哪些收获？
2、思想方法归纳？
3、作业：P24练习1、2小题。
4、习题17.1中1、2题。板书设计:
勾股定理 定理：如果直角三角形的两直角边长分别 为a，b，斜边为c，那么a2b2c2
反思：本节课涉及了大量的有关勾股定理的背景知识，学生可以感受到勾股定理所蕴含的浓郁的数学文化。教学中应聆听学生发言，尊重学生发展。引导深挖细究，体现过程方法。突出过程评价，注重情感体验。
第2课时
教学内容:
1、勾股定理的运用。
2、直角三角形中的有关定理。教学过程:
一、复习引入。
1、教师与学生一起复习前面所学的勾股定理的内容。（要求学生能独立的说出定理的内容。）
2、教师出示本节课的教学内容和目标。
二、学习新知：
1、教师出示练习题：
（1）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长（2）、直角三角形的斜；边长为41，一条直角边为40，求另一直角边。
C2、学习例题：（教师讲解并板书过程）
2例1：一个门框的尺寸如图1所示． ①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
A
1B 例
2、⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。
⑵
在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。
A③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
C⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，OBD给AC不同的值，计算BD。
3、练习：教材P26练习中1、2小题。
三、总结直角三角形中的有关定理。（教师引导学生自已回忆说出定理的内容）
1．勾股定理的具体内容是：。
2、两锐角之间的关系：；
3、若D为斜边中点，则斜边中线；
4、若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
5、三边之间的关系：。
四、学习利用勾股定理在数轴上作无理数。
五、总结反思：
六、课后练习：
1、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCDA的面积。
2、△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC=
，S△ABC=
。BCDE3、△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A= 度，∠B=
度,∠C= 度，BC=
，S△ABC=。
4、△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D，则AC=
，CD=，BD=
，AD=
,S△ABC=。
第3课时
教学内容: 勾股定理的逆定理
（一）教学目的：
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。教学重难点
1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2．难点：勾股定理的逆定理的证明。教学过程：
一、创设情境引入新课：
1、练习: 求以线段a、b为直角边的直角的三角形的斜边c的长。（1）a=
3、b=4（2）a=
2、b=6(3)a=
4、b=7.2、提出问题：
（1）、分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的？（2）、是不是只有三边长为3、4、5的三角形才能构成直角三角形呢？
二、合作交流、探究新知：
1、得出定理：
命题2：如果三角形的三边长分别为a，b，c满足问题：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。（学生理解并记忆定理的内容）
2、学习原命题和逆命题：
（1）、勾股定理及逆定理的题设、结论分别是什么？（2）、原命题主逆命题的定义。
3、证明勾股定理逆定理。教师引导学生学习证明的过程。
三、知识的运用与训练：（教师讲解例题）
1、例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形？（1）a＝15 b=17 c=8
(2)a=13 b=15 c=142、例2：某港口位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解题的步骤：（1）、审题
（2）、根据题意画出图形（3）、解题思路是怎样的3、练习：（学生独立完成）
学生完成P33中练习1、2、3、小题。
四、课后作业： 习题17.2中3、4、5、6
第4课时
教学内容：
勾股定理的逆定理
（二）教学目的：
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。教学重难点：
1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。教学过程：
一、课堂引入
创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。
NRSQPE
二、例习题分析
例1（见教材）
分析：⑴了解方位角，及方位名词；
⑵依题意画出图形；
⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24，QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°；
⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。
小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；
⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；
⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。
三、课堂练习
1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。
2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
ENCCBDA9
AB3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？
四、课后练习
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
BCA2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，D现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土
DC地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，B以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。参考答案： 课堂练习： 1．向正南或正北。
A2．能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2= AB2；
3．由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°。课后练习：
1．6米，8米，10米，直角三角形；
2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。
3．提示：连结AC。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。课后反思：
第5课时
教学内容：
勾股定理的逆定理
（三）教学目的1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。教学重难点
1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。教学过程：
一、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
二、例题分析
例1（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。
求：四边形ABCD的面积。
分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，C3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。
例2（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC是直角三角形。
分析：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =（AD+BD）2=AB2
三、课堂练习
1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（）A．等腰三角形； B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。
2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试
ADBDABC判断△ABC的形状。
3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=BC。
求：四边形ABCD的面积。
4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD。
求证：△ABC中是直角三角形。
四、课后练习，EA313，CD=，AD=3，且AB⊥441．若△ABC的三边a、b、ca2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
满足
BDC2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。求证：△ABC是等腰三角形。
3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。
参考答案： 课堂练习： 1．C；
2．△ABC是等腰直角三角形；
93．
44．提示：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，∴∠ACB=90°。课后练习： 1．6；
2．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。
3．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。4．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。又因为c2=14，所以a2+b2=c2。课后反思：
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