高等数学 第一章函数与极限教案_第一章函数与极限教案

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y ,或 {x0xa}.记为5.点6.点7.函数是实数集到实数集的映射U(a , )a(a , a)a(a , a)f的左邻域: 的右邻域: 中有唯一的实数

...单值函数是指对于定义域

Df内的任何实数

x，在值域Rf 其中y与之对应，记作

yf(x)xDfxy，称为自变量，称为因变量.，8.函数的自然定义域: 通常指使得函数算式有意义的一切实数组成的集合.9.绝对值函数: x , x0 ,xx , x0.10.符号函数:

-----高等数学教案-----

 1 , x0,sgn(x) 0 , x0,1 , x0.11.取整函数:

xn , nxn1(n0 , 1 , 2 , )x x3.233.24330.50.其中表示不超过的最大整数.例如，.，即定义域为

x0P42211x01x00x1[1 , 0)(0 , 1]③.解: 令，得

或

.，练习1.求函数的定义域.1f(x)lnx3.-----高等数学教案-----x31 , x2 , 解: 令x30 , 得

x3 ,即定义域为

x31 ,x4 ,D( , 2)(2 , 3)(3 , (4 , ).练习2.求函数的定义域.ycosx2.解: 令cosx20，得

0x222k2x22k2，x2x2

-----高等数学教案-----

4)或即定义域为 或

2kx2k222

或

2kx2k.的定义域为，数集

.12.函数的有界性: 设对任一在对任一在(k1 , 2 , )}f(x)DXDK1f(x)K1xXf(x)XK1f(x)XK2f(x)K2xXf(x)XK2f(x)XM①.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有上界，而

为上的一个上界.②.如果存在数，使得，都成立，则称

在上有下界，为上的一个下界.③.如果存在正数，使得

-----高等数学教案-----对任一④.如果对于任何正数则称13.函数的单调性: 设①.如果对于区间则称②.如果对于区间则称14.函数的奇偶性: 设函数①.如果对于任一f(x)MxXf(x)XMx0Xf(x0)Mf(x)Xf(x)DIDIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)IIx1x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)If(x)DxD，都成立，则称

在上有界.，总存在，使得，在上无界.的定义域为，区间上任意两点

及，当，在区间

上是单调增加的.上任意两点

及，当

时，恒有，在区间

上是单调减少的.的定义域

关于原点对称，.时，恒有

-----高等数学教案-----恒成立，则称②.如果对于任一恒成立，则称15.函数f(x)f(x)f(x)xDf(x)f(x)f(x)yf(x)Df为奇函数.，为偶函数.的定义域为，值域为

Rf，如果

f是一一映射，则f存在逆映射f1:

RfDf1，即对于任意

yRf1为，有唯一的记作 xDf，使得

f(x)yf，称，f的反函数，xf(y)yRf 16.设函数

.yf(u)的定义域为的定义域为

Df，且，值域为

Rf;函数ug(x)由下式确定的函数

Dg，值域为

RgRgDf，则yf[g(x)] xDg，-----高等数学教案-----称为由ug(x)yf(u)uy与中间变量，因变量.构成的复合函数.x自变量，P1422 ④.解：yex2.yee1yeee，①.幂函数x2102x2212.17.基本初等函数: yx（为实数）.②.指数函数ya(a0 , a1).x，特例③.对数函数特例yeylogax(a0 , a1)ylogexlnx.④三角函数 x，ysinx ycosxytanxycotxysecxycscx，，⑤反三角函数，.-----高等数学教案-----yarcsinxyarccosx yarctanxyarccotx，.，18.初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.19.双曲函数

①双曲正弦②双曲余弦③双曲正切

eeshx2xxeechx2xxshxeethxxxchxee..xx.§1.2 数列的极限

1.如果按照某一法则，对每个

nN，对应着一个确定的数照下标nxn，这些实数

xn按从小到大排列得到的一个序列

叫做数列，简记为数列般项.x1 , x2 ,  , xn , nxnxn，数列中的每一个数叫做数列的项，-----

当自变量例如.① xnf(n)nNnxn111 , ,  , , 2n，.依次取1，2，3，…一切正整数时，对应的函数值就排成数列

;

.②

1(1)1 , 0 , 1 , 0 ,  , , 21 , 2 ,  , n , 1 , 1 , 1 ,  , 1 , n248234n12 , , ,  , , 23nnanxnaxnxna;③

;④

;⑤

2.深刻理解数列极限的概念.当无限增大时(即

时)，对应的项

无限接近于某个确定的数值，称常数是数列的极限.无限接近于

是什么含意? 考察数列

-----高等数学教案-----

n134n12 , , ,  , , 23nn11xn1nxnn1xn1n0.110n101xn10.1n0.01100n1001xn10.01n11[]n[]

当时，无限接近于，也就是说

与要多小就有多小.比如说: ①给定，在-----它多么小），总存在正整数都成立，那么称常数NnNxnaaxnxnalimxnaxna(n)n，使得当

时，不等式

是数列的极限，或者称数列

收敛于

或，正整数，当，则称数列

以，记为

.0NnNxnaxnalimxnan0NxnaN1NxNaxnalim0.99991P3 313'.对于

.4.数列不以

为极限的定义:，对于

正整数，使得，则称数列

时，为极限，记为，1不以为极限.④证: 等价于

nn个1lim(1n)1n10.-----高等数学教案-----对于

只要011(1n)1n101011nlgN[lg]nN，要使

，取

，当时，1(1n)1101lim(1n)1n10lim0.99991nn个5.有界数列: 对于数列，所以，故

.xn，如果存在正数

M，使得对于任意

n，不等式

都成立，那么称数列无界数列: 对于数列xnMxnxn

是有界的.，如果对于任意正数

M，存在正整数

N，使得不等式

-----高等数学教案-----成立，那么称数列 6.子数列: 在数列序,这样得到的数列xNMxnxnxn，是无界的.k中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列

称为原数列

xnxn中的先后次的子数列.7.收敛数列的性质.①唯一性: 如果数列②有界性: 如果数列xnxn收敛，那么它的极限唯一.收敛，那么数列

xn一定有界.③保号性: 如果 推论: 如果数列limxnaa0a0nNnNxn0xn0xnxn0xn0limxnaa0a0n，且

(或，当

时，都有

(或

从某项起有

(或，那末

(或).④.数列)，那末).)，且xn敛，且有相同的极限；若

xxxxx与子数列

n的关系: 若

kn收敛，则

n也收

kn收敛，则

kn不一定收敛.-----高等数学教案-----P31 5xnxnM 证: 由于

都成立.对于，由于

有界，所以

M正数，对于

n，不等式

当

nNyn时，yn0N0limn，所以

正整数，故当，使得从而所以

MxnynMMlimxnyn0nP31 60x2k1a(k)N1kN1x2k1a时，..证：对于，由于，正整数，使得当

时，nN.又由于

所以x2ka(k)N2kN2x2ka，正整数，使得当

时，.-----高等数学教案-----NMax{2N11 , 2N2}xnanNxna(n)xxx0xx0xx0取时，.§1.3 函数的极限 1.自变量的六种变化趋势.① :，任意地接近于有限值

.②，当

所以xxxx0xx0xx0xx0xx0xxxxxxxf(x)xx0f(x)x0A0xx0f(x)，任意地接近于有限值

.③ :，任意地接近于有限值

.④⑤

: :

沿着数轴负向无限远离原点.沿着数轴正向无限远离原点.⑥ :的绝对值

无限增大.2.函数当

时的极限: 设函数

在点一去心邻域内有定义.如果存在常数，对于任意给定的正数，使得当

时，对应的函数值不等式

-----高等数学教案----- : 0的某

（不论它多么小），总存在正数

都满足那么常数f(x)AAf(x)xx0limf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或

取f(x)A(xx0)0P5382x4(4)x(2)x20x(2).③.证: 对于，要使，当

时xx0，某一左邻域内有定义.对于x4(4)x(2)x22x4lim4x2x2f(x)xx0f(x)x000.3.函数当

时的左极限: 设函数

在点，2，所以的，当

-----高等数学教案-----0x0xxx04.函数

或

时，f(x)A0.，则limf(x)Af(x)A当

时的右极限: 设函数某一右邻域内有定义.对于f(x)xx0f(x)x0000xx0f(x)A在点，时，的，当，则limf(x)Af(x)Axx0或 5.函数

0.f(x)xx0当

时的极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在且相等，即

limf(x)Axx0

limf(x)limf(x)Axx0xx0.P438limf(x)lim11.解: ①，x0x0

-----高等数学教案-----limf(x)lim11x0于

.由limf(x)limf(x)1x0x0.x0，所以limf(x)1x0②

lim(x)lim(1)1lim(x)lim11x0x0由于，x0x0.lim(x)lim(x)lim(x)x0，所以

不存在x0x0练习1.设函数(A)

x2limf(x)f(x)x2x2101，则.(B).(C)

.当

时的极限: 设函数

在为.(D)不存在.[ D ] 6.函数一正数时有定义.如果存在常数使得当f(x)xf(x)xXAxXf(x)，对于任意给定的正数

（不论它多么小），总存在正数时，对应的函数值

都满足不等式

大于某，-----高等数学教案-----那么常数f(x)AAf(x)xlimf(x)A，就叫做函数

当

时的极限，记作

或x一负数时有定义.对于时，某一正数时有定义.对于f(x)A(x)f(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xf(x)x0X0xXf(x)Alimf(x)Axf(x)xxxlimf(x)Ax.7.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.8.函数当

时的极限: 设函数

在，当，则

.9.函数当时极限及当

时极限都存在且相等，即

小于某

大于

时，时的极限存在的充分必要条件是当

-----高等数学教案-----limf(x)limf(x)Axx9.水平渐近线: 若

.limf(x)cx或

x或 limf(x)climf(x)c是函数，x则称直线ycyf(x)图形的水平渐近线.10.函数极限的性质.①唯一性: 若limf(x)xx00，当

存在，此极限唯一.②局部有界性: 若limf(x)Axx.，那末存在常数

M0时，和00xx0，且

有 ③局部保号性: 若f(x)Mlimf(x)AA0xx0），那末存在，当

（或A000xx0时，-----高等数学教案-----有③'若f(x)0f(x)0limf(x)AA0（或）.（），那末存在点xx0x0的某一去心邻域内，使得

Af(x)2f(x)0f(x)0x0A0A0limf(x)Axx.推论: 若在点的某一去心邻域内

（，那末

（）.），且0§1.4 无穷小与无穷大

1.无穷小: 若

limf(x)0xx0为当

（或取limf(x)0f(x)xx0xx0P2421xsinxx0x），则称）时的无穷小.②.证: 对于，要使，当

时

（或，-----高等数学教案-----2.极限与无穷小的关 系:

11yxsinxsinxxxx0limf(x)Af(x)Axx，所以时的无穷小.①

.为当0②limf(x)Af(x)Ax为无穷小.在点

.其中 3.无穷大: 设函数f(x)x0M000xx0，当的某一去心邻域内有定义.如果对于时，总有

那f(x)Mf(x)xx0limf(x)，么称

为

当

.时的无穷大，记作xx03'.无穷大: 设函数f(x)x在大于某一正数时有定义.如果对于

-----高等数学教案-----M0X0，那么称，当

xX时，总有f(x)Mf(x)x为当

时的无穷大，记作limf(x).xP423.① 证: 对于

M0，要使

1x2x1x2M，而 1x21x2，只要 1x2M，xM1，取M122，当

0x

-----高等数学教案-----

时，有 ②取

12x12xMyxxx0140x10212x12xx12x，所

以的无穷大.，当

时，为当1214102410

.-----高等数学教案-----练习1.若limf(x)limg(x)xxxx，00则下列式子成立的是

(A)lim[f(x)g(x)]xxlim[f(x)g(x)]xx00.(B).(C)(D)

1lim0xxf(x)g(x)1lim0xxf(x)g(x)0..0[ D ] 4.铅直渐近线: 如果

limf(x)xx0或

limf(x)xx0

或 limf(x)xx0是函数，那么称直线xx0yf(x)图形的铅直渐近线.-----高等数学教案-----P342.解：由于

所以

4limf(x)lim20xx2xy0是水平渐近线.，由于

所以 5.无穷小与无穷大的关系: 在自变量的同一变化过程中，如果

4limf(x)lim2x2x22x4limf(x)lim2x2x22xx2x2f(x)1f(x)f(x)0f(x)1f(x)，，都是铅直渐近线.为无穷小；如果

为无穷小，且为无穷大.为无穷大，则，则§1.5 极限运算法则 1.无穷小的性质: ①有限个无穷小的和也是无穷小.-----高等数学教案-----②.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积也是无穷小.P4932.①解: 由于当

x0x时

是

当

2是无穷小，而

1sinx的无

穷

是有界变量，所以1xsinx0x21limxsin0x0xlimf(x)Alimg(x)Blim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABlim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)ABc时

小，故

.2.极限的四则运算:，.①..②..推论1: 为常数，-----高等数学教案-----推论2: ③.lim[cf(x)]climf(x)cAnnnnlim[f(x)][limf(x)]Af(x)limf(x)Alimg(x)limg(x)B(B0)(x)(x)lim(x)alim(x)babxx0nn1f(x)a0xa1xanlimf(x)f(x0).为正整数，..3.极限的单调性: 若，而，则

.4.有理整函数(多项式)、有理分式函数当的极限: ①.多项式，.，xx0例1.②.有理分式

16lim(x2x1)3231x3P(x)F(x)P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多项式，-----高等数学教案-----Q(x0)00，P(x0)P(x)limF(x)limxxxxQ(x)Q(x0)F(x0)3x1321limlim33x2xxx222122x1limlim(x1)x1x1x122x3lim2x1x3x20.例2..例3..例4.求

.解: x3x21312limx12x3213

-----高等数学教案-----225.有理分式函数当02x3lim2x1x3x2xmm1a0xa1xamlimnn1xbxbxb01na0 , nm ,b00 , nm ,  , nm.，.的极限:

例5.111limn1223n(n1)

-----高等数学教案-----

111lim[(1)()n223 11()]nn1例6.1lim1nn11na1lima1n1n1aan11aaa1limn1n1aalim(a1)n

.（)

a1(A).例7.下列数列中收敛的是.nan(1)n1n.-----高等数学教案-----(B)bn12n.(C)(D)11 , n为奇数 ,n2Cn11 , n为偶数.n1n , n为奇数 ,n1Dnn , n为偶数.1n

[ C ] 例8.设

x1lim(axb)1xx1则有(A)(B)2，(C)a1b0a1b1a1b0，，...-----高等数学教案-----(D)a1b1，.[ C ] 例9.设

2x1lim(axb)02xx1则有(A)(B)3，(C)(D)a1b0a2b1a2b0a2b1，.，，...[ C ] 例10.已知

求xaxblim5x11xab，的值.2，解: 一方面，lim(xaxb)x122

xaxblim(1x)x11x

-----高等数学教案-----

500.另一方面，lim(xaxb)1abx1所以，即

.故

2.1ab0ba12xaxblimx11x2xaxa1limx11x(x1)(x1)a(x1)limx11xlim[(x1)a]x1

从而 6.复合函数的极限运算法则: 设函数2a2a5a7b6yf[g(x)].，得，.是由函数

-----高等数学教案-----ug(x)yf(u)yf[g(x)]x0limg(x)u0limf(u)Axxuu与

复

合在点，而成，的某去心邻域内有定义，若，且存在0000xU(x0 , 0)g(x)u0，当

时，有则

，limf[g(x)]limf(u)Axx0uu0 例如..limln(x1)ux1 limlnux2u9§1.6 极限存在准则 两个重要极限 1.准则I 如果数列

① ②ln9xnynznynxnzn(n1 , 2 , )limynalimznann.、及

满足:，，那么limxnan.准则I' 如果

-----高等数学教案-----① ②g(x)f(x)h(x)limg(x)Alimh(x)A，，那么limf(x)A.P564②.解: n(1nn12n2n)n(11n2n2)，n2n2n原式

1，而lim2，所以

nn2nn1lim11nnn2n2n1.-----高等数学教案-----

原

式 2.重要极限I: 例1.例2.例3.sinxlim1x0xsin2xsin2xlim2limx0x0x2x212tanxsinx1limlim()x0x0xxcosxsinx1limlimx0xx0cosx12x2sin1cosx2limlim22x0x0xx...-----高等数学教案-----例4.xsin12lim2x0(x)222sinx12lim2x0x2122sin(x1)limx1x12(x1)sin(x1)lim2x1x12sin(x1)lim(x1)lim2x1x1x12

.-----高等数学教案-----2例5.求极限.解: sinmxmnlimxsinnxsinmxlimxsinnx(，为非零整数).sin(mmy)xy limy0sin(nny)m1

(1)sin(my)limn1y0(1)sin(ny)sin(my)m1(1)mmylimy0n1sin(ny)(1)nnymnm(1)n.3.单调数列:

-----高等数学教案-----①.如果数列则称数列②.如果数列x1x2x3xnxn1xnxnx1x2x3xnxn1，单调增加.满足条件: xn满足条件:，则称数列xn单调减少.4.准则II 单调有界数列必有极限.例6.利用极限存在准则证明数列

2，22.，证: 记数列的通项为 ①有界性: 222xnxn12xn…的极限存在并求此极限.，则时，.当 假设当所以对任意的n1x122nkxk2nk1xk12xk222nxn2xn0{xn}时，当

时，有，是显然的，故数列

有界.②单调性:

-----高等数学教案-----xn12xnxnxnxn，所以数列{xn}单调增加.由①②可知数列{xn}的极限存在.设此极限为

a，则

limxn1lim2xn，nn a2a，得a2.4.重要极限II: limx(11xx)elim(1z)1ze.z0例7.limx(11x)xlimx11(1xx)

-----高等数学教案-----，例8.tx limtt1(1)t1e.例9.11xxx1limlimxx1x11x1limxxx1111xx12ecsc2xlim(cosx)x



.x0

-----高等数学教案-----lim(cosx)x021csc2x2

2lim[1(sinx)]x021sin2x12

 tsinx lim(1t)t0e例10.112t

12.x0lim(1x)x01x

lim(1x)(1x)1xx0x01x

1x lim1xlim1x

-----高等数学教案-----

1limlim1x1xx01x 1xx01ee

1.§1.7 无穷小的比较

1.无穷小的比较: 设、都是无穷小，且

0.①如果lim0，就说

是比

高阶的无穷小，().②如果lim，就说

是比低阶的无穷小.③如果limc0，就说

与

是同阶无穷小.-----高等数学教案-----

记作

limkc0klim1~P59 1 ④如果，就说

是关于的 ⑤如果，就说

与..解: 由于

阶无穷小.是等价无穷小，记作

xxxxlimlim02x02xxx02x，232所以 xx2xxP592321xlimlim(1xx)3x11xx1是比

高阶无穷小..解: 由于 232，所以1x1x与3是同阶无穷小.由于

-----高等数学教案-----

1(1x2)12limlim(1x)x11x2x1，所以2.3.几组等价无穷小量: 当1(1x2)1x2()x0x~sinx~tanx~arcsinx与

是等价无穷小.与是等价无穷的充分必要条件为

.时，~arctanx；

x~ln(1x)~e1 ；

x；

121cosx~x2xa1~xlna a(1x)1~ax(a0)；

-----高等数学教案-----

.4.等价无穷小量代换: 若~~limlimlim、、、都是无穷小量，且，存在，则，.例1.求limtanxsinxx0sin3x.x022解: 由于当

时，x~sinxcosx~122x，所以

-----高等数学教案-----，1limtanxsinxx0sin3xlim1cosx x0cosxsin2x12lim2x

x0cos21xxlim2

x01cosx.例2.求lim(21arcsinx)31x0etanx1.解: 由

于

当

x0

-----高等数学教案-----

时，(1arcsinx)31~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx1~tanx 所以

lim(~1x arcsinx)31x0etanxlim3arcsinx1 x0tanxlim3x

x03x.§1.8 函数的连续性与间断点 1.引入记号: 对于函数yf(x)，当

xx时，令

xxx0yf(x)0f(x

则 xx0)，0xyf(x0x)f(x0)，-----高等数学教案-----，，

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