高等数学(同济大学版) 课程讲解 1.3函数的极限_高等数学同济版极限

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课 时 授 课 计 划

课次序号： 0

3一、课题：§1.3函数的极限

二、课型：新授课

三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；

2.了解函数极限的性质．

四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．

教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6

八、授课记录：

九、授课效果分析：

第三节函数的极限

复习

xna； 1.数列极限的定义：limxna0,N,当nNn

2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．

在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对

于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．

一、x→∞时函数的极限

对一般函数yf（x）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．

定义1若ε＞0，X＞0，当x＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|

x

若ε＞0，X＞0，当x＜X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|

x

例

1证明lim

0．

x证

ε＞0

ε，

00＜ε，则当x＞X

即x＞



2．因此，ε＞0，可取X

2

0＜ε，故由定义1得

0．

xlim

例2证明lim100．

x

x

证ε＞0，要使010x＜ε，只要x＜lgε．因此可取X ｜lgε｜1，当x＜X时，x

即有｜10x0｜＜ε，故由定义1得lim10x0．

x

定义2若ε＞0，X＞0，当｜x｜＞X时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即|f(x)A|

x

为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：

f（x）→A（x→∞）；f（x）→A（x→∞）；f（x）→A（x→∞）．

注 若limf(x)A或limf(x)A或limf(x)A，则称yA为曲线yf(x)的水

x

x

x

平渐近线．

由定义

1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．

定理1limf（x）A的充要条件是limf（x）limf（x）A．

x

xx

例3证明lim

x

21．

xx

133x2

＜ε，只需｜x1｜＞，而｜x1｜≥｜x｜1，故1

x1x1

证ε＞0，要使

只需｜x｜1＞

3，即｜x｜＞1． 

3x2，则当｜x｜＞X时，有1＜ε，故由定义2得x1

因此，ε＞0，可取X1

lim

x2

1．

xx1

二、x→x0时函数的极限

现在我们来研究x无限接近x0时，函数值f（x）无限接近A的情形，它与x→∞时函数的极限类似，只是x的趋向不同，因此只需对x无限接近x0作出确切的描述即可．

以下我们总假定在点x0的任何一个去心邻域内都存在f（x）有定义的点．

定义3设有函数y f（x），其定义域DfR，若ε＞0，δ＞0，使得x∈U（x0，δ）（即0＜｜xx0｜＜δ）时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε）（即｜f（x）A｜＜ε），则称A为函数yf（x）当x→x0时的极限，记为limf（x） A，或f（x）→A（x→x0）．

xx0



研究f（x）当x→x0的极限时，我们关心的是x无限趋近x0时f（x）的变化趋势，而不关心f（x）在xx0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．

函数f(x)当x→x0时的极限为A的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线yAε和yAε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x0的一个δ邻域（x0δ,x0δ），当yf(x)的图形上点的横坐标x在邻域（x0δ,x0δ）内，但x≠x0时，这些点的纵坐标f(x)满足不等式 |f(x)A|

图1－3

4x2

1例4证明lim2．

x1x1

x21

证函数f（x）在x1处无定义．ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x1｜＜δ时，x1x21

2｜x1｜＜ε成立．因此，ε＞0，据上可取δε，则当0＜｜x1｜＜δ时，x1

x21x21

2＜ε成立，由定义3得lim2．

x1x1x1

例5证明limsinxsinx0．

xx0

证由于｜sinx｜≤｜x｜，｜cosx｜≤1，所以

｜sinxsinx0｜2cos

xx0xx0

≤｜xx0｜． sin

2因此，ε＞0，取δε，则当0＜｜xx0｜＜δ时，｜sinxsinx0｜＜ε成立，由定义3得

xx0

limsinxsinx0．

有些实际问题只需要考虑x从x0的一侧趋向x0时，函数f（x）的变化趋势，因此引入

下面的函数左右极限的概念．

定义4设函数yf（x），其定义域D fR，若ε＞0，δ＞0，当x∈U(x0,)(或x∈U(x0,))时，相应的函数值f（x）∈U（A，ε），则称A为f（x）当x→x0时的左（右）极限，记为limf（x）A（limf（x）A），或记为f（x0）A（f（x0）A）．

xx0

xx0









由定义3和定义4可得下面的结论．

定理2limf（x）A的充要条件是limf（x）limf（x）A．

xx0

xx0xx0

例6设f(x)

cosx,x0，研究limf（x）．

x0

1xx0

解x0是此分段函数的分段点，x0

limf（x）limcosxcos01，而 limf（x）lim（1x）1． 

x0

x0

x0

故由定理2可得，limf（x）1．

x0

例7设f(x)

x,x0，研究limf（x）．

x01x0

解由于 limf（x）limx0，limf（x）lim11，因为limf（x）≠limf(x), 

x0

x0

x0

x0

x0

x0

故limf（x）不存在．

x0

三、函数极限的性质

与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立．

1．唯一性

定理3 若limf（x）存在，则必唯一． 2．局部有界性

定义5在x→x0（或x→∞）过程中，若M＞0，使x∈U(x0)(或｜x｜＞X)时，｜f（x）｜≤M，则称f（x）是x→x0（或x→∞）时的有界变量．

定理4 若limf（x）存在，则f（x）是该极限过程中的有界变量． 证我们仅就x→x0的情形证明，其他情形类似可证．

若limf（x）A，由极限定义，对ε1，δ＞0，当x∈U（x0，δ）时，｜f（x）A｜

xx0



＜1，则｜f（x）｜＜1｜A｜，取M1｜A｜，由定义5可知，当x→x0时，f（x）有界． 注意，该定理的逆命题不成立，如sinx是有界变量，但limsinx不存在．

x

3．局部保号性

定理5 若limf（x）A，A＞0（A＜0），则U（x0），当x∈U（x0）时，f（x）＞0（f

xx0





（x）＜0）．

若limf（x）A，A＞0（A＜0），则X＞0，当｜x｜＞X时，有f（x）＞0（f（x）＜0）．

x

该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用． 推论在某极限过程中，若f（x）≥0（f（x）≤0），且limf（x）A，则A≥0（A≤0）．

4.函数极限与数列极限的关系

定理6limf(x)A的充要条件是对任意的数列{xn}，xn∈Df（xn≠x0）,当xn→x0（n→∞）

xx0

时，都有limf（xn）A，这里A可为有限数或为∞．

n

定理6 常被用于证明某些极限不存在． 例1 证明极限limcos

x0

不存在． x

证取{xn}

111，则limxnlim0，而limcoslimcos2nπ1．

nn2nn2nxnn

111

limlimlim又取{x′n}，则x′0,而coslimcos(2n1)π1，nnn2n1nn2n1x'n

由于 limcos

n

1≠limcos，故limcos不存在．

n0xxnnx'n

课堂总结

1.两种变化趋势下函数极限的定义；

2.左右极限（单侧极限）；

3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系．

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