高等数学极限方法总结_高等数学极限求法总结

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摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同 的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。

极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。

二.研究问题及成果

一、极限定义、运算法则和一些结果

1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。

说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：

blim(3x1)5lim0(a,b为常数且a0)；；x2nan0，当|q|1时limqn；等等 n

（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

2．极限运算法则

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有

（1）lim[f(x)g(x)]AB

（2）limf(x)g(x)AB（3）limf(x)A,(此时需B0成立)g(x)B当|q|1时不存在，说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

3．两个重要极限

（1）limx0sinxx 2

(11)xe

(1x)e ； lim（2）limxxx01x说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限 成立的条件。

sin3x3lim1，lim(12x)2xe，lim(1)3e；等等。例如：x0xxx03x1x4．洛比达法则

定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～ex1。

说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价

关系成立，例如：当x0时，e3x21 ～ 3x ；ln(1x2)～ x。

定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当limxx0f1(x)f(x)lim存在时，xx也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)xx0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

xxx00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比达法则

定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；

（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；

（3）limf(x)存在（或是无穷大）； g(x)f(x)f(x)=lim。g(x)g(x)f(x)f(x)il

则极限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6．连续性

定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)f(x0)。

xx0007．极限存在准则

定理7（准则1）单调有界数列必有极限。

定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：

（1）ynxnzn,(n1,2,3,)

（2）limyna，limzna

nn

则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。

nn

二、求极限方法举例

1． 利用函数的连续性（定理6）求极限x2e 例4 limx2解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，所以

原式=22e4e。2． 利用两个重要极限求极限 例5 limx01cosx 3x2121x12xxx2sin22lim21lim解：原式=x0x0x26。3x212()22sin2注：本题也可以用洛比达法则。

(13sinx)例6 limx0(13sinx)解：原式=limx016sinx3sinxx2xlim[(13sinx)x013sinx]6sinxxe6。

(例7 limnn2n)n1n13nn133(1)解：原式=limnn133n1lim[(1)]e3。nn1n13n注：两个重要的极限分别为 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，对第一个而言是 x→0 x →∞ x xX 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第2 个实际上如果 x 趋近无穷大和无穷小都有 对有对应的形式。当底数是 1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限。3． 利用定理2求极限x2sin 例8 limx01x解：原式=0（定理2的结果）。4． 利用等价无穷小代换（定理4）求极限

这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).设~、~且lim[3]

lim；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：0()．

常用等价无穷小：当变量x0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex1~x,ln(1x)~x,1cosx~12x,21x1x~x,(1x)1~x．

例1 求limx01cosx．

xarctanx解 x0时,1cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式lim22

x0x2例2 求lim(1x)1．

x0cosx1123123解 x0时,(1x)1~121x,1cosx~x2,因此: 3212x23． 原式limx0123x23例3 求 limx0131．

tanx1x1133解 x0时,1x1~x,tanx~x，故:原式=lim．

x0x33例4 求limx0ex122xln(1x)．

解 x0时,ex1~x,ln(1x)~x,故: x21原式lim2．

x02x2例5 试确定常数a与n，使得当x0时，ax与ln(1x3)x3为等价无穷小．

n3x223x333ln(1x)x3x51x1 而左边lim解 lim，limn1n1x0x0x0axnnaxnax33111a． 故 n15即n6 limx06a6a25.利用洛比达法则求极限

利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者

型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于0；在点a的某去心邻域内，f(x)﹑F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于0；limxaf(x)存在，那么F(x)limxaf(x)f(x)[1]lim.xaF(x)F(x)求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例12 limx01cosx（例4）3x2sinx1。（最后一步用到了重要极限）6x6解：原式=limx0cosx例13 limx12 x12sinx解：原式=limx1例14 limx02。

12xsinx x31cosxsinx1lim。=（连续用洛比达法则，最后用2x06x63x解：原式=limx0重要极限）例15 limx0解： sinxxcosx

x2sinx原式limsinxxcosxcosx(cosxxsinx)limx0x0x2x3x2

xsinx1lim2x033x11lim[] 例18 x0xln(1x)11lim[解：错误解法：原式=x0]0。

xx正确解法：

原式limln(1x)xln(1x)xlimx0xln(1x)xxx01 1x1lim1xlim。x0x02x2x(1x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19 limx x2sinx

3xcosx8

lim解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：x0012cosx，3sinx此极限

不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同时除以x）xcosx3x1

=（利用定理1和定理2）

注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0 比0 和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都 写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的无穷次方，无穷的 0 次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取 对数的方法，这 样就能把幂上的函数移下来了，就是写成 0 与无穷的形式了，（这就是为什么只有 3 种形式的原因，）6.利用极限存在准则求极限 13xn 例20 已知x12,xn12xn,(n1,2,)，求limnxn解：易证：数列{xn}单调递增，且有界（0

a2a，解得：a2或a1（不合题意，舍去）

xn2。所以 limn(例21 limn1n1n21n2121nn1n222)

1nn2解： 易见：因为 limnnn2n12nn12

nnn21，limnnn121

11nn2(所以由准则2得：limn7.直接使用求导的定义求极限

1n12n22)1。

当题目中告诉你F(0)0时，F(x)的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数yfx在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量x（点xx0仍在该领域内）时，相应的函数取得增量yfxx0fx0；如果y与x之比x0时的极限存在，则称函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处的导数，记作fx0，即

fx0limfxx0fx0ylim；

x0xx0x（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 fxx1xex，求f''.解 f =limxfxflimx1xex1xe.xx'例37 若函数fx有连续二阶导数且f0=0，f0=1，f''0=-2，fxx则 limx0x2.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 fxxf'x11f'xf'01''f01.limlim解 lim2x0x0x02x2x2x0所以，答案为D.10 例38 若f(x)x(x1)(x2).....(x2010)，求f(0).f(x)f(0)

x0xx(x1)(x2).....(x2010)lim

x0x解 f(0)lim limx(x1)(x2).....(x2010)

x0 2010!.8.求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]

例33 已知fx1x ,在区间0,1上求lim20fx（其中将0,1分为n个小

iii1n区间xi1,xi,xi1ixi，为xi中的最大值）.解 由已知得: lim0fixifxdx

i10n1 101x2dx

4.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数fx在区间0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：

（1）定积分中值定理：如果函数fx在积分区间a,b上连续，则在a,b上至少有一个点，使下列公式成立：fxdxxba abab；

（2）设函数fx在区间a,上连续，取ta，如果极限 lim此极限为函数fx在无穷区间a,上的反常积分，记作

tafxdx存在，则称

t0f(x)dx，即af(x)dxlimf(x)dx；

tat设fx在区间a,b上连续且fx0，求以曲线yfx为曲线，底为a,b的曲边梯形的面积A，把这个面积A表示为定积分：A=fxdx 的步骤是：

ab首先，用任意一组的点把区间a,b分成长度为xi(i1,2,...n)的n个小区间，相应地把曲线梯形分成n个窄曲边梯形，第i个窄曲边梯形的面积设为Ai，于是有A其次，计算Ai的近似值 Aif然后，求和，得A的近似值 AnA；

ii1nixixi1ixi；

niifx；

i1最后，求极限，得Alim0f(i)xif(x)dx.i1ax02xbxtftdt..例34 设函数fx连续，且f00，求极限 limxfxtdtx00解 limx00xtftdtxfxtdt0xx =limx0x0xftdttftdt0xxfudu0x,ftdt+xfxxfx由洛必达得：limfuduxfx，0x0x0x其中fxtdx,令uxt,得fudu,0x

再由积分中值定理得:limx0xf

在0到x之间xfxfxlimx0ff01ffxf0f02dx1x2..例35 计算反常积分: 解 dxarctanx().limarctanxlimarctanx ===1x2xx-229.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限

利用如下的极限运算法则来求极限：(1)如果limfxA,limgxB,那么lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB

limfxgxlimfxlimgxAB

若又有B0，则limf(x)limf(xg(x))limg(x)AB（2）如果limf(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n为正整数，则lim[f(x)]n[limf(x)]n（4）如果(x)(x)，而lim(x)a,lim(x)b，则ab（5）设有数列xn和yn，如果limnxnynAB;

那么，limnxnynAB;limnxnynAB

当yn0n1,2,...且b0时，limxnAny nB 例1 lim3x12x1x1

解：原式=(3x1)222lim3x33x1(x1)(3x12)limx1(x1)(3x12)4。注：本题也可以用洛比达法则。

例2 limnn(n2n1)n[(n2)(n1)]分子分母同除以n解：原式=limnn2n1lim3n1232n11n例3 lim(1)n3nn2n3n(1)n1解：原式上下同除以3nlim3n1。(23)n1三，极限运算思维的培养

。极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

四.结束语

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于平时练习中不经常使用，这里不作一一介绍了。

[参 考 文 献] [1] 同济大学应用数学系 高等数学 1997

[2] 吉米多维奇.数学分析[M].济南:山东科技文献出版社1995.[3] 陈纪修,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同济大学应用数学组.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期张宏达:高

等数学中求极限的常用方法

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