高中数学 2.5等比数列的前n项和(第1课时)教案 新人教A版必修5_高中数学必修全套教案

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等比数列前 项和(第一课时)

一、课标要求: 知识与技能：（1）通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程.（2）通过教学解决等比数列的a1，q，n，an，Sn 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.过程与方法：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.情感态度价值观：通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.在学习过程中，使学生获得发现的成就感，培养学生学习数学的兴趣。

二、教学重点，难点: 重点:等比数列的前n项和公式的推导及运用

难点:等比数列的前n项和公式的推导．关键通过具体的例子发现一般规律

三、教学思路：

本课时要使学生熟悉等比数列前n项和的公式并知道求和公式的推导的方法：错位相减法。

与生活中的实例引入课题，用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式，并观察公式使用的条件：变量a1，n，qan，Sn中知道3个就可以求出其余2个变量。

四、教学过程: Ⅰ、课题的引入

引例：某企业拟给学校一批捐款，假如有以下两种方案：

方案1．第一次捐100万元，第二次捐200万元，第三次捐300万元„„全部捐款分64次到位；

方案2.第一次捐1元，第二次捐2元，第三次捐4元„„依此每一次的金额是前一次的两倍，全部捐款分64次到位。

试问：采纳哪一种方案，学校得到的捐款较多？（问题导出等比数列前n项求和的计算)学生建立数学模型：

方案1：求首项为a1=100，公差d=100的等差数列的前64项和； 计算 Snna1n(n1)d 2方案2：求首项为a1=1，公比q=2的等比数列的前64项和。那么怎样计算方案2的Sn呢？

设计意图：通过案例的引入，创设教学情境，在情境的暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。Ⅱ、新课讲解：

1、数列前n项和的定义：

用心 爱心 专心

一般地，对于等比数列 a1,a2,a3,a4,an,，它的前 项和是 Sna1a2a3an

（通过简单数列的分析使学生自己发现总结等比数列求和公式）观察下列2个数列的特征：数列1： 1 2 4 8 16 32

数列2： 2 4 8 16 32 64 学生思考后：数列1，数列2都是公比为2的等比数列；

数列2中的每一项都是数列1中对应项的2倍； 数列2中第n项和数列1中的n+1项相等；

问题：数列1的和为S1，数列2的和为S2，那么S2与S1的关系，S2S1=？，学生回答：S2=2S1（q=2）； S2S1=64-1=63 思考过程分析：S2S1=2+4+8+16+32+64-1-2-4-8-16-32 S1 =（64-1）+（2-2）+（4-4）+（8-8）+（16-16）+（32-32）=63 这里我们可以知道S1的求和除了数列的每项相加之外，还可以利用一个新的数列的和S2（S2=qS1），通过做差的方式得到数列1的和。

设计意图：用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和公式。

2、公式的推导： 方法一：

对于一般的等比数列，其前 项和 构造新的数列的前n项和：①—②我们可以得到：

①

②

③

（提出问题通过③能否直接推出）

当 时，可知：

当 时，由③得.综上所述：等比数列的前n项和为

用心 爱心 专心 2

我们把这种数列求和的方法叫做“错位相减法” 公式简单的变化：方法二：

有等比数列的定义，时,a1(1qn)a1qan=

1q1qaa2a3nq a1a2an1a2a3anSna1q 根据等比的性质，有a1a2an1Snan即 Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

3、应用举例：

学习了等你数列前n项和的公式，我们回头来看看开始引用的例题： 方案2：求首项为a1=1，公比q=2的等比数列的前64项和。

a1a1qn11264计算：Sn

1q12通过对比方案1我们就可以知道选取方案2学校得到的捐款更多。

（以一个例题来熟悉等比数列前n和的公式）板书： 例题1：求下列等比数列前8项的和，⑴、111，,； 2481,q0； 243⑵、a127,a9解答（略）

例题2：（课本64页例2）设计意图：(1)加强学生对公式的认识和记忆，突出教学重点；(2)帮助学生明确解题步骤，规范解题格式，提高运算能力；(3)重视课本例题，适当对题目进行引申，使学生对公式的应用达到举一反三的教学效果。

4、公式中的变量： 等比通项公式中ana1qn1变量为a1，q，n，an，他们四个中知道了3个就可以求出其另外一个，而前n项和中的变量是a1，q，n，an，Sn，这五个变量中最少知道几个就可以求出其余的？

假如：已知等比数列中的Sn，an，q 能不能求a1，n呢（学生讨论）

用心 爱心 专心 3

已知等比数列中的a1，n，Sn 能不能求q，an呢（学生讨论）总结学生的结论：5个变量中只需要知道其中任意的3个就可以知道其余的2个

Ⅲ、课堂练习： 课本66页练习1

Ⅳ、课堂小结：

1、等比数列前n项和公式

2、等比数列求和的方法：错位相减法

设计意图：使学生巩固所学知识，培养学生的归纳和概括能力。V、作业：

课本69页A组第1、2、3、5、题

B组第1题

选作题：等比数列前n项和公式有无其他推导方法

设计意图：针对学生素质的差异进行分层训练，达到巩固教学效果的目的。

用心 爱心 专心 4

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