29[1].1几何问题的处理方法 教案2_二年级几何教案

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课题：29.1 几何问题的处理方法2

一、知识点回顾

1、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。

2、推论：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线、底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直，也可证线段或角的倍分问题。

3、判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”。平行四边形

⑴平行四边形的：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

注意：一个四边形必须具备有两组对边分别平行才是平行四边形，反过来，平行四边形就一定是有“两组对边分别平行”的一个四边形。因此定义既是平行四边形的一个判定方法（定义判定法）又是平行四边形的一个性质。

平行四边形的表示：平行四边形用符号“□”表示，如图就是平行四边形ABCD，记作“□ABCD”。

⑵平行四边形的性质：

平行四边形性质定理1：平行四边形对边相等。平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。⑶平行四边形的判定定理：

平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形、菱形、正方形 ⑴定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。它们之间的从属关系

⑵性质与判定 矩形的性质：

既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四边形的一切性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质。

矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。矩形性质定理2：矩形对角线相等。

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的性质：

菱形既然是特殊的平行四边形，因此它就具有平行四边形的一切性质，此外由于它比平行四边形多了“一组邻边相等”的条件，和矩形类似，也比平行四边形增加了一些特殊性质。

菱形性质定理1：菱形的四条边都相等。

菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定： ①根据定义：

②定理：有四条边相等的四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形的性质：

定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。正方形两条对角线相等，且每一条对角线平分一组对角。

正方形的判定： ①根据定义；

②定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。知识结构

三、典型例题

例1：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

【分析】因为已知点分别是四边形各边中点，如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGH对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形。

【证明】连结AC。

AHHD，CGGD，H、G分别为AD、GD中点，HG∥AC，HG（三角形中位线定理）。同理，EF∥AC，EF形EFGH是平行四边形。

【点评】①注意三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别。

②三角形中位线定理及证明思路。

例2：如图，ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE2AC，1AC21AC。GH平行且等于EF。四边2 3

CD、BE交于点O。求证：OE1BE。411线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知24【分析】已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到3AE2AC，得AE线。

2AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到ABE的一条中位3【证明】取AE中点F，连结DF。D是AB中点，DF是ABE的中位线。DF12BE且DF∥BE（三角形中位线定理）。3AE2AC，AEAC。231AFFEECAC。在CFD中，EFEC，且DF∥BE，CODO（过3三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分等三边）。OE是CDF的中位线。OE111DF。而DFBE，OEBE。224【点评】遇中点，作中位线是常见的辅助作法。

例3：一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°。若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险？

【分析】本题是实际问题，首先根据题意画出符合实际条件的图形，然后用数学知识来解决。因为小岛周围3.8海里内有暗礁，这样要求出小船距小岛的最短距离大于3.8海里还是小于3.8海里。如图所示也就是求出PC的长度即可。

【解】由题可画，则AB7海里。过点P作PCAB，垂足为C，由题中分别在A、B两地测得P的方位角可知PAB15，PBC30。APBPBCPAB

15，PABAPB。PBAB7。在RtPBC中，PBC30，PC11PB73.5。则点C距P只有3.5海里，而小岛P周围3.8海里内有暗礁，22所以该船一直向东航行有触礁的危险。

【点评】在平面上用角度表示方向的问题，是常见的问题。它在测量中经常用到。因此也是考题中常见的题型之一。

例4：如图1，已知ABC中，BAC90，ABAC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E。

求证：⑴BDDECE；

⑵若直线AE绕点A旋转到图2位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；

⑶若直线AE绕点A旋转到图3时（BDCE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系怎样？请直接写出结果，不须证明。

归纳⑴、⑵、⑶，请用简捷的语言表述BD、DE、CE的关系。

【分析】⑴由已知出发容易得到：BDAE，再分析观察AEADDE又易证ADEC。⑵猜想规律，再运用几何知识证明。

【解】⑴BAC90，BADCAE90，AECE，CAEACE90，BADACE。又ABAC，BDAAEC90，ABDCAE。AEBD，ADCE。BDDECE。

⑵BDDECE。

BAC90，BDAD，CEAD，DABEAC90，EACECA90，DE。DABACE。又DE。DBAE，ECAD。ABAC，ADBCEA，BDDECE。

⑶BDDECE。

结论：当B、C在异侧时，BDDECE；当B、C在同侧时，BDDECE。【拓展】本题是阅读理解题，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，这种题目考查学生的阅读理解及对所学知识的整理和概括能力。

例5：如图，ABCD中，B、C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E。求证：BOOE。

【分析】证线相等，可证线段所在三角形全等，可证COECOB。

【证明】在ABCD中，AB∥CD，EABE，又ABECBE（角平分线定义），EEBC。又OCOC，OCEOCB，OCBOCE，OBOE。

【点评】证线段相等通常有两种方法：⑴在同一三角形中证三角形等腰；⑵不在同一三角形则证两三角形全等。

本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论。

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