复习教案 一元二次方程根与系数关系_根与系数的关系复习课

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第十三课时 一元二次方程根与系数关系

一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.二、复习重点和难点：

（一）复习重点： 一元二次方程根的韦达定理.（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.三、复习过程：

（一）知识梳理：

1、根与系数的关系（韦达定理）

一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果有实数根（即b4ac0），设两实数根为x1，x2，则x1x2

2、常见的含两根的对称式：

（1）x1x2(x1x2)22x1x2（2）222bc，x1x2 aaxx211 1x1x2x1x2（3）(x1x2)2(x1x2)24x1x2 ； x1x2(x1x2)24x1x2

x2x1x1x2(x1x2)22x1x2（4）； x1x2x1x2x1x23、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号： 22c可判断两根符号之间的关系： acc 若x1x20，则x1，x2同号； 若x1x20，则x1，x2异号，即一正一负

aab 再由x1x2可判断两根大小的关系。

a由x1x2

4、由x1，x2两根可构造的一元二次方程 以x1，x2为根的一个一元二次方程为x2(x1x2)xx1x20；

5、一元二次方程与二次函数的联系：

若二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两交点，分别设为A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2就是一元二次方程axbxc0(a0)的根，因此，求二次函数y=ax+bx+c

22的图象与x轴有交点坐标，只要令y=0，解axbxc0(a0)的根，就可得到二次函

2数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点坐标的横坐标。

强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b24ac0 ②二次项系数a0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。

例

1、已知方程x6xm2m50的一个根为2，求另一个根及

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为x1，根据题意，利用韦达定理得：

x126x14x14，解得：或 2m3m12xm2m51∴方程

二、不解方程，判断两根的情况。

例

2、不解方程，试判断方程x3x60两根的符号；

分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果利用根与系数的关系就显得非常巧妙。

解：由34(6)330，方程有两个不相等的实数根。设这两根为x1,x2，得x1x260，易得方程两根一正一负。

如果得出x1x20，需考虑x1x2的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。

三、求作新的方程；

例

3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程x3x10的两根的平方． 解：设方程x3x10的两根为x1,x2，那么所求的方程的根为x1,x2，由根与系数关系可得：x1x23,x1.x21，∴x1x2(x1x2)22x1x2322(1)11，22222的另一个根为4，的值为3或—1。

222 x1x2(x1x2)2(1)21，∴所求作的方程为x11x10．

四、不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。例4（1）已知关于x的方程3x+6x-2=0的两根为x1，x2，求

222211的值.x1x2 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1，x2，且2

22113，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系.小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.例

5、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）

分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式）

（２）如何利用条件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？

（４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题.（５）求出m后，要考虑它是否符合题意.通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）.五、利用根与系数关系解决一元二次方程与二次函数的综合题： 例

6、已抛物线y(m1)x2(m2)x1（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1 2m0（2）由x0得C（0，－1）

又∵ABm am1∴SABC∴m11mABOC12 22m144或m 35122126∴yxx1或yxx1

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