《一元二次方程根与系数的关系》的说课稿

精品范文时间：2023-08-16 07:15:04 收藏本文下载本文

第1篇：《一元二次方程根与系数的关系》的说课稿

《一元二次方程根与系数的关系》的说课稿

[教材分析]

中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]

进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，

基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]

在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]

发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程

[教学过程]

(一)复习导入

请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问，导入新课。

(二)探求新知

数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为 1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发现这两个无理根在求和，求积后，竟变成了有理数，而且每一组两根和(积)都与系数有着密切的联系，此时的他们不难对两根和与两根积产生关注，经历了对二次项系数为1的一元二次方程两根和差积商的研究后，确定了课题并获得猜想：“两根和等于一次项系数的相反数, 两根积等于常数项。”对于这一猜想，会有学生提出不同看法，他们提出研究二次项系数非 1 的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接研究一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出具体的方程要求研究，故除了部分同学自定义方程求根求和求积后产生猜想，还有部分同学对仍保留在板书部分的求根公式着手进行两根和，积的运算。这两种方案齐头并进，当前者通过不断验证来说明他们猜想的可靠度时，后者通过论证，在严格意义下，说明了此结论的正确性。对于论证中学生出现的问题，我们在第一时间内揪错指正，

在知识初探与再探后，学生获得了新知，得到了一元二次方程根与系数的关系，

三、训练感悟

我将之前从学生那里收集来的错解对照表中方程，询问检验其正误的方法。学生根据已有经验，将其代入方程，进行检验。为寻求更为简便的方法，引出作用一，利用根与系数的关系，不解方程检验两数是否为原方程的根。我再给出两例，便于巩固练习，更明确了只有当两数和(积)同时满足方程两根和(积)的时侯，才是正确的根。当学生们正为找到了一种行之有效的检验方法，高兴不已的时候。突然间，表格中的数据丢失了，我分别隐去了方程的一根及b,c,a三个系数。为了将材料修复，学生小组展开热烈的讨论。有了上一题的经验，学生们会利用根与系数关系，不解方程，求出另一根及系数。也会使用代入求解的'方法解题，通过新旧方法的比较，在训练中获得感悟：方法的选择在于简便，学生们在选择了恰当的方法后，修复了材料也巩固了新知。

四、总结提升，

由学生回顾知识的发生发展及应用过程，以“我的收获” 与“我的疑惑”交流心得。我再帮助学生整理所学知识，引导领会数学的思想。我还会自豪的告诉他们，数学家们还发现了存在于一元n次方程中的根与系数的普遍关系，这一内容将在高数中有所涉及，激励奋进

五、分层作业，

[设计意图]

现在的设计较之以往，有所继承，有所变革。

1 研究启动入口不同

过去我总是先给出若干具体方程要求学生求根，并计算两根和(积)，作出猜想。这样的数学后曾有学生问我：“老师为什么会想到两根和(积)与系数的关系，而不是其它?”这种疑问的产生一定与过去设计指定了学生的活动过程有关，为了给学生的活动指向更为宽泛，让两根和积与系数的研究更显合理，现在的设计中主要体现了由数到式的研究，从两根和差积商的重组合再有所观察，有所挑选，方才定位于两根和(积)作进一步的探究。这种设计正是从数学内部下了功夫，由知识线索的连贯性，师生共同理顺了实验对象的来龙去脉，从数学本身上培养了学生的观察、分析、概括的综合能力。

2探究部分两步走

我将二次项系数为1，非 1的一元二次方程分两次出现，分别放置与知识初探和再探两个环节，这样设计的原因有二：学生的认知能力总是有所差异的，如果将这些方程合二为一加以研究的话，一部分同学对别人获得的正确猜想是瞬间接受，却缺乏思维的参与。事实上，研究事物往往从简单到复杂，在这里，当a=1 时，易找规律，当 a ≠1后造成的认知冲突，更是激发了这一猜想的完善。其实这一串，由实验——猜想——再实验——再猜想的思维过程，既符合认知规律，也是一种研究性学习的示范，一种创造性能力的培养。为了让每一个学生都亲身参与其中，真正感受由“实践——认识——再实践——再认识” 这一客观世界认知论的基本规律。便是我如此设计的原因之一。原因二：研究入口处，利用两根和差积商的结果，优选出对和积的研究。初探中二次项系数为 1 的方程两根计算足以起到这一筛选作用。因此在下一环节的再探新知中，便自然关闭了对两根差与商相对较为繁琐的计算，直接由两根和积入手研究与系数的关系，提高了研究的效率。

3 再探新知放手走

我没有再给出任何具体的方程以供研究，这里的放手，引出了学生不同的操作方法。一部分学生把注意力转放在求根公式上展开直接论证，就连另一部分学生自定义方程数据研究的方式也各不相同，他们有的翻开笔记本查阅之前解方程的资料;有的反凑特殊值方程;更有的会从中提炼出代数论证的方法;当然也有借助于计算器完成了繁琐的计算。

放手的探究，为了给学生更大的思维空间，让学生有更多方法的选择，从而展开自主的学习。

[尾声]

但原学生们带着对数学的兴趣与喜爱，在学的海洋里，奋勇搏击。而作为一名青年教师的我，亦将在教学的舞台上，不断求索。多由学生所想来引导;多设角度空间去探究;多从细节处渗透数学思想，充分利用数学课堂来达成文化传承与发展创新的协调统一。

第2篇：复习教案一元二次方程根与系数关系

第十三课时一元二次方程根与系数关系

一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.二、复习重点和难点：

（一）复习重点：一元二次方程根的韦达定理.（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.三、复习过程：

（一）知识梳理：

1、根与系数的关系（韦达定理）

一元二次方程ax2bxc0(a0)，如果有实数根（即b4ac0），设两实数根为x1，x2，则x1x2

2、常见的含两根的对称式：

（1）x1x2(x1x2)22x1x2（2）222bc，x1x2 aaxx211 1x1x2x1x2（3）(x1x2)2(x1x2)24x1x2 ； x1x2(x1x2)24x1x2

x2x1x1x2(x1x2)22x1x2（4）； x1x2x1x2x1x23、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号： 22c可判断两根符号之间的关系： acc 若x1x20，则x1，x2同号；若x1x20，则x1，x2异号，即一正一负

aab 再由x1x2可判断两根大小的关系。

a由x1x2

4、由x1，x2两根可构造的一元二次方程以x1，x2为根的一个一元二次方程为x2(x1x2)xx1x20；

5、一元二次方程与二次函数的联系：

若二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两交点，分别设为A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2就是一元二次方程axbxc0(a0)的根，因此，求二次函数y=ax+bx+c

22的图象与x轴有交点坐标，只要令y=0，解axbxc0(a0)的根，就可得到二次函

2数y=ax+bx+c的图象与x轴有交点坐标的横坐标。

强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： ①根的判别式b24ac0 ②二次项系数a0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（二）典例精析：

一、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。

例

1、已知方程x6xm2m50的一个根为2，求另一个根及

分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把22

2的值。

代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

解：设方程的另一个根为x1，根据题意，利用韦达定理得：

x126x14x14，解得：或 2m3m12xm2m51∴方程

二、不解方程，判断两根的情况。

例

2、不解方程，试判断方程x3x60两根的符号；

分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果利用根与系数的关系就显得非常巧妙。

解：由34(6)330，方程有两个不相等的实数根。设这两根为x1,x2，得x1x260，易得方程两根一正一负。

如果得出x1x20，需考虑x1x2的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。

三、求作新的方程；

例

3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程x3x10的两根的平方．解：设方程x3x10的两根为x1,x2，那么所求的方程的根为x1,x2，由根与系数关系可得：x1x23,x1.x21，∴x1x2(x1x2)22x1x2322(1)11，22222的另一个根为4，的值为3或—1。

222 x1x2(x1x2)2(1)21，∴所求作的方程为x11x10．

四、不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。例4（1）已知关于x的方程3x+6x-2=0的两根为x1，x2，求

222211的值.x1x2 分析：已知方程，求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x的方程3x-mx-2=0的两根为x1，x2，且2

22113，求 ①m的值；②求x1x2x1+x2的值.分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系.小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.例

5、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x-3(m+1)x+m-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=

23,b-a=3,5是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）

分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式）

（２）如何利用条件cosB=

3？ 5（３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？

（４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题.（５）求出m后，要考虑它是否符合题意.通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）.五、利用根与系数关系解决一元二次方程与二次函数的综合题：例

6、已抛物线y(m1)x2(m2)x1（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1 2m0（2）由x0得C（0，－1）

又∵ABm am1∴SABC∴m11mABOC12 22m144或m 35122126∴yxx1或yxx1