求二次函数解析式的四种方法_如何求二次函数解析式

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求二次函数解析式的四种基本方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。4.对称点式： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：

例

1、已知二次函数的图象经过点(1,5),(0,4)和(1,1)．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)abc5a2依题意得：c4 解这个方程组得：b3

abc1c4∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。

例

2、已知抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，与y轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线yaxbxc的顶点坐标为(4,1)，最好抛开题目给出的yax222bxc，重新设顶点式y=a(x－h)+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。

2解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点(0,3)。

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∴a(0－4)2－1=3 ∴a=∴这个二次函数的解析式为y=

1414

(x－4)2－1，即y=

14x2－2x+3。

例

3、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C（0、4）。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。

分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。2

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)

例

4、已知函数y=x2+kx－3（k>0),图象的顶点为C并与x轴相交于两点A、B且AB=4（1）求实数k的值；（2）若P为上述抛物线上的一个动点（除点C外），求使S△ABC=S△ABP成立的点P的坐标。

变式练习，创新发现

1、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

2、已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，与y轴交于点(0,5)，求这条抛物线的解析式。

yaxbxc2922、已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。

24、已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。

5、已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式

26、已知二次函数y(m1)x2mx(3m2)(m≠1)的最大值是零，求此函数的解析式。

7.已知某抛物线是由抛物线y=x2-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。

9、已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

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