高一数学 线面平行的判定与性质由刀豆文库小编整理,希望给你工作、学习、生活带来方便,猜你可能喜欢“线面平行判定与性质”。
[文件]sxgbk0025.doc
[科目]数学
[关键词]线面平行/知识要点/直线和平面的位置关系
[标题]线面平行的判定与性质
[内容]
【知识要点】
一、直线和平面的位置关系
1、线面平行定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们说这条直线和这个平面平行。
2、位置关系
(1)直线在平面内______有无数个公共点;
(2)直线和平面相交_____有且只有一个公共点;
(3)直线和平面平行_______没有公共点
3、画法和表示 a(1)直线在平面内(图1)
a a
(图1)
(2)直线和平面相交(图2)
aA
A
(图2 a
(3)直线和平面平行(图3)
a||
(图3)
二、直线和平面平行的判定
1、根据线面平行定义,注:线面平行是用否定的语句定义的,根据定义证明时常用反证法。a2、根据判定定理:如果平面外一条直线
和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线
和这个平面平行。
a,b,a||ba||(图4)b
(图4)
思路:首先注意a,然后在平面内找到直线b,证明a||b,根据线面平行的判定定理得a||。
三、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过
这条直线的平面和这个平面相交,那么这
条直线就和交线平行 a 线面平行的判定与性质b
a||,a,ba||b(图5)
(图5)
注:直线和平面平行的判定定理和性质定理联用,是证题中常用的【例题选讲】
例
一、V是平行四边形ABCD所在平面外一点,E为VB的中点,O为AC,BD的交
V
点,求证:EO‖平面VCD证明:V平面AC,V,O,C,D异面,O平面VCD,DOE平面VCD,C
O为BD的中点
又E为VB的中点,OE||VD,图6又VD平面VCD,OE||平面VCD
例
二、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N D1 N
C1 为A1D1,D1C1为中点,求证:MN||平面AC
证明:M,N为A1D1,D1C1的中点
A1 1连结A1C1,AC
MN||A1C
1又 AA1||CC1
A1C1||ACMN||AC
又AC平面AC,MN平面AC
D
C 图7
∴MN||平面AC
例
三、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截面 BB1E1E平面DCC1D1=EE1,求证:EE1||平面AA1B1B。
证明:BB1平面DCC1D1,A1BB1||CC1,CC1平面DCC1D1,D
1E1
C1
BB1||平面DCC1D1,又截面BB1E1E平面DCC1D1=EE1,BB1||EE1
又BB1平面AA1B1B,EE1平面AA1B1B,EE1||平面AA1B1B。
例
四、在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M,N分别为A1B1,B1C1 的中点,求证:MN||平面AA1C1C.证明:取A1C1的中点E,连结ME,CE,M,E为A1B1A1C1的中点,ME||
A
D
C 图8 B
B1C1,2A
1N是BC的中点NC||
C1
B1C1 2
C N
∴ME|| NCMN||CE又MN平面ACC1A1
CE平面ACC1A1(图9)BMN||平面ACC1A1
例五、一条直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两个平面的交线平行。已知:ba||,a||求证:a||b
证明:在内取一点A,Ab,直线a 和点A确定一个平面
1,设1
c,则 a||c,在内取一点B,Bb,直线a和点B 确定一个平面1,设1d,则a||d,c||d,c,d,c||,又b,c,c||ba||b
例
六、设a,b是异面直线,求证:过b有且仅有一个平面平行于a。证明:在直线b上任取一点O,过O作直线a'||a,直线a'和b确 定一个平面,b,a.又a||a',a'
a||
存在过b且与a平行的平面;
假设还有一个平面,使得b,a||,则O,直线a和点O确定一个平面,设c,则a||c
a',c均过O点,且与a平行直线a',c重合,a',ba',b
b
B c
a
d
11
(图10)a b
图11
过相交直线有两个平面,矛盾,原假设不成立
过b有且只有一个平面与a平行。
【练习题】
一、选择题
1、直线和平面平行是指该直线与平面内的()(A)一条直线不相交(B)两条直线不相交(C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交
2、已知a||,b,则必有()(A)a||b
(B)a,b异面
(C)a,b相交(D)a,b平行或异面
3、若直线a,b都与平面平行,则a和b的位置关系是()(A)平行(B)相交(C)异面(D)平行或相交或是异面直线
4、下列四个命题中,正确命题的个数是()个(1)过直线外一点,只能作一条直线与这条直线平行;(2)过平面外一点,只能作一条直线与这个平面平行;(3)过直线外一点,只能作一个平面与这条直线平行;
(4)过两条异面直线中的一条直线,只能作一个平面与另一条直线平行。(A)1(B)2(C)3(D)
45、下列命题中,错误的命题是()
(A)如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个 平面相交;
(B)一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;(C)经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;(D)空间四边形相邻两边的中点的连线,平行于经过另外两边的平面。
二、填空题:
(1)直线a||b,b||,则直线a和平面的位置关系是(2)若a||,则在平面内有条直线与a平行。
(3)点A平面,a,过A画与a平行的直线可以画与平面的关系是。
三、判断题(画图说明)
(1)经过平面外一点有只有一条直线与已知平面平行。
(2)若直线与平面平行,则平面内有具只有一条直线与已知直线平行。(3)若平面和直线平行,则平面内的任何直线都和已知直线平行。
四、解答题:
(1)如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
(2)正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为BD,B1C上的中点,求证:MN||平面ABB1A
1M
(3)正方体ABCDA1B1C1D1中,M是求证: A1C||平面DMB
【练习题答案】
一、D,D,D,B,B
二、(1)a||或a,(2)无数,(3)1,平行
三、(1)×(2)×(3)×(从正方体中容易找到相应图形)
四、(1)已知:c,a,b,a||b
图13
D1C1
C C
A1
B1 D1
C1
求证:a||c,b||c
证明:a||b,a,b
a||
又c,a
a||c
同理b||c
(2)证明:连结AC,则MAC,且M是AC的中点,又N是B1C的中点,MN||AB1又MN平面ABB1A1AB1平面ABB1A1MN||平面ABB1A1(3)证明:连结AC,交BD于O连结MO,M,O分别是AA1,AC的中点,MO||A1C又A1C平面BMD,MO平面BMDA1C||平面BMD
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