《步步高 学案导学设计》学年高中数学(苏教版)选修11【配套备课资源】综合检测一（推荐）_步步高学案导学设计

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综合检测(一)

一、填空题

1．命题“∀x∈R，x2＋1>0”的否定是________．

2．某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)2，则在t＝1 s时的瞬时速度为________．

3．“ab

x2y24．椭圆1的焦距为2，则m的值等于______． m4

x2y215．若双曲线－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝x，则右焦点坐标为________． 4b2

ππ6．已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则f′2＝________.2

17．抛物线yx2的焦点到准线的距离是________． 4

x2y28．抛物线y＝12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于932

________．

x2y29．过点P(0,3)的直线与双曲线1只有一个公共点，则这样的直线有________条． 43

10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0.且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)

11．把一个周长为12的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．

12．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．

x2y213．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝10，则S△PF1F2＝________.6448

14．若函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是________．

二、解答题

x2y2415．已知命题p：“椭圆＝1的焦点在y轴上”；命题q：f(x)＝x3－2mx2＋(4m2m3

－3)x－m在(－∞，＋∞)上单调递增，若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．

16．已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)直线l：y＝kx－3过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A，B两点，求A，B

两点间的距离．

17．已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．

(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；

(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．

18．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为每件p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润．(毛利润＝销售收入－进货支出)

19．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e330，到这个，已知点P22

椭圆上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标．

120．已知函数f(x)＝x2＋ln x.2

(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大、最小值；

2(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方．

3答案

1．∃x∈R，x2＋1≤0

2．－3

3．必要不充分

4．5或3

5．(5，0)

6．－1

7．2

8．3

9．4

10．(－∞，－3)∪(0,3)

11．2∶1

12．9

13．24

114．k≤ 3

15．解 p真时，m>2，q真时，f′(x)＝4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．

Δ＝16m2－16(4m－3)≤0,1≤m≤3.∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．

m≤2，∴ 1≤m≤3，

∴所求m的取值范围为1≤m≤2.16．解(1)设所求抛物线为y2＝2px(p>0)，代入点(3,6)，得p＝6.∴抛物线方程为y2＝12x.(2)由(1)知F(3,0)，代入直线l的方程得k＝1.y＝x－3，∴l的方程为y＝x－3，联立方程2 y＝12x

消去y得x2－18x＋9＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18.∵AB过焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋6＝24.17．解(1)由题设可知：f′(x)＝3x2－6ax－b，f′(1)＝0且f(1)＝2，3－6a－b＝0，4即解得a＝，b＝－5.31－3a－b＝2，

(2)∵f′(x)＝3x2－6ax－b＝3x2－6ax－9a，又f(x)在[－1,2]上为减函数，∴f′(x)≤0对x∈[－1,2]恒成立，即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1,2]恒成立．

∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，3＋6a－9a≤0即⇒412－12a－9a≤0a≥ a≥17 ⇒a≥1，∴a的取值范围是a≥1.18．解 设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p

－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．

此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)

所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，毛利润L最大，为23 000元．

x2y2

19．解 设所求椭圆方程为1(a>b>0)，aba－bc3由e＝＝a＝2b.① aa2

设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，点M到点P的距离为d，a2y2

则x＝a－ b2233ay－2＝a2－y2＋y－2 d＝x＋22b222

9＝－3y2－3y＋4b2＋4

1y＋2＋4b2＋3，＝－32其中－b≤y≤b.1如果b

3b＋2，d2取得最大值，即有7)2＝2

311解得b7－>b

1如果b，2

1则当y＝－d2取得最大值，2

即有(7)2＝4b2＋3.② 由①、②可得b＝1，a＝2.x22所求椭圆方程为y＝1.4

11－3，－和由y＝－可得椭圆上到点P的距离等于7的点的坐标为22

3，－1.2

1211x＋ln x′＝x＋[1，e]上，f′(x)>0，20．(1)解 由f(x)x2＋ln x得f′(x)＝22x

所以函数f(x)是增函数．

1所以f(x)max＝f(e)＝2＋1； 2

1f(x)min＝f(1)＝2

12(2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)2＋ln x－3，23

2121－x1＋x＋2x则F′(x)＝x＋2x＝ xx

因为x>1，所以F′(x)

所以函数F(x)在[1，＋∞)上是减函数．

1又F(1)＝－，6

所以在[1，＋∞)上，有F(x)

即f(x)

2所以在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝3的图象的下方． 3

《步步高 学案导学设计》学年高中数学(苏教版)选修11【配套备课资源】3.2.2

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