基本初等函数_初等基本函数

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基本初等函数

一、考点分析

函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。

考点：函数的定义域和值域，了解并简单应用分段函数，函数的单调性、最值及几何意义、奇偶性，会利用函数图像表示并分析函数的性质；理解指数函数、对数函数的概念以及运算

性质，会画图像并且了解相关性质。了解幂函数的概念，结合图像了解变化情况。

易错点：容易遗忘判断单调性以及奇偶性的方法；容易遗忘指数、对数函数的图像性质，以及相关的运算性质。

难点：函数的单调性、奇偶性，指数、对数函数的图像性质以及运算性质。

二、知识分析

1．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）

2．求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数

ylgx3的定义域是答：0，233，4 2，3．如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定义域是_____________。答：a，a

4．求一个函数的解析式数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令texx，求f（x)t0，∴xt21，∴f(t)et

x2121t21，∴f(x)ex21x0

5．如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？，u(x)（内层），则yf(x) yf(u)（外层）

当内、外层函数单调性相同时，f

(x)为增函数，否则f(x)为减函数

如：求ylog1x22x的单调区间。

设ux2x，由u0，则0x2且log1u，ux11，如图



当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y

∴……）

6．如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0，则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3x0令f'(x)3xa3x，则x

x，

由已知f(x)在1，1，即a3，∴a的最大值为3 7．函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图像关于原点对称 若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图像关于y轴对称 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0

a·2xa

2如：若f(x)为奇函数，则实数a

2x

1a·20a2

0，∴a1 ∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0，即0

212x

又如：f(x)为定义在(11)，求f(x)在，上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x

41(11)，上的解析式。

2x

令x10，，则x01，，f(x)x

412x2x

又f(x)为奇函数，∴f(x)x

4114x

2x

0)4x1,x(1，

又f(0)0，∴f(x)0,x0

2x

x,x0，141

8．你熟悉周期函数的定义吗？

（T0）若存在实数T，在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期函数，T是

一个周期。如：若fxaf(x)，则答： T2a为f(x)的一个周期。

又如：若f(x)图像有两条对称轴xa，xb即f(bx)f(bx)，f(ax)f(ax)，则f(x)是周期函数，2|ab|为一个周期

如图：

9．你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图像关于y轴对称 f(x)与f(x)的图像关于x轴对称 f(x)与f(x)的图像关于原点对称 将yf(x)图像右移a(a0)个单位

左移a(a0)个单位

yf(xa)上移b(b0)个单位yf(xa)b

 下移b(b0)个单位

yf(xa)yf(xa)b

注意如下“翻折”变换：f(x)|f(x)|,f(x)f(|x|)

如：f(x)log2x1y=log2x

作出y|log2x1|及ylog2|x1|的图像

10．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（1）一次函数：ykxbk0（2）反比例函数：y

kk

k0推广为ybk0是中心O'(a，b)的双曲线。

xxa

b4acb2

（3）二次函数yaxbxca0ax的图像为抛物线 

2a4a

b4acb2bx顶点坐标为，对称轴 2a4a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin

4acb2

4a

a0，向下，ymax

4acb2

4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不

等式）的关系——二次方程axbxc0，0时，两根x1、x2为二次函数

也是二次不等式axbxc0(0)解集的端yax2bxc的图像与x轴的两个交点，点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程axbxc0的两根都大于

0

bkk，一根大于k，一根小于kf(k)0

2af(k)0

（4）指数函数：ya

x

a0，a1

ax(a>1)

（5）对数函数：ylogaxa0，a1

由图象记性质！（注意底数的限定！）（6）“对勾函数”yx

(a

0)，k

k0 x

1ap

11．你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，a

p



aa

0)，a

mn



mn



a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0

loga

M

1logaMlogaN，logalogaM Nn

logax

对数恒等式：a

x；对数换底公式：logab

logcbn

logambnlogab logcam

12．如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。先令xy0f(0)0，再令yx，……

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为偶函数。先令xytf[(t)(t)]f(tt)，∴f(t)f(t)f(t)f(t)，∴f(t)f(t)……

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2…… 13．掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），换元法，均值定理法，利用函数单调性法，导数法等。）

三、习题

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