函数的基本结论与解题技巧（全文）_基本初等函数解题方法

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高中数学第一轮复习学案函数概念及其性质

函数的基本结论与解题技巧

1.函数解析式的求法：①代入法：已知f(x),求f[g(x)]的解析式；

②换元法：(但要注意新变元的范围)如：(i)f(x2)x4x，求f(x).(ii)(2004湖北理)已知f（A．

x1x

2④判别式法(“△”法)：型如y



a1xa2x

2b1xc1b2xc2

(a1、a2不同时为零，且分子与分母无公因式)的最值,4x3x

12当x除定义域外无其他限制时,“△法”求解;如：求y当x还有其他限制时,换元成yx

kx的值域.答案：[-1,4]

bx

1x1x)

1x1x

2(k0)用基本不等式(或yax的单调性，单调性的证明,则f(x)的解析式为()

利用导数较简单)求解.x1x

B．

2x1x

C．

2x1x

D．1x

C ⑤不等式法：利用基本不等式ab2ab(a,bR*)求值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.⑥单调性法：不能用基本不等式时(等号不成立),可考虑利用函数的单调性求值域;

③拼凑法(整体代换法)：如：已知f(x

1x)x，求f(x)和f(2x1).型如：yxk(k0),如：求y

x



x5x

2的值域.答案：[2.5, +∞)

④待定系数法：如：f(x)为二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x).⑤构造方程组：通过变量赋值构造另一个方程，组成方程组，消元求f(x).如:(i)已知2f(x)f()3x,求f(x).(ii)已知f(x)2f(x)x25x9,求f(x).x

1⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域.如:求y(x3)216(x5)24的值域.⑧三角函数(或指数函数)有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;

x

(iii)(2008安徽理)若函数f(x)，g(x)分别为R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)=e，则有()

A.f(2)

f(x)g(x)

型如:yasinxbcosx;y

asinxbcsinxd

;y

acosxbccosxd

;y

asinxbccosxd

等.⑨图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；

⑩导数法：设y=f(x)的导数为f(x)，由f(x)0可求的极值点的坐标，若函数定义域为[a,b]，则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.4.判定函数的单调性常用的方法有：(1)定义证明法;(2)图象法;(3)复合函数法;(4)导数法(适用于多项式函数):f'(x)0,f(x)为增函数；f'(x)0,f(x)为减函数(选修).复合函数法：①复合函数f[g(x)]的单调性是(内、外函数单调性)同(复合函数)增异减.②两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数减一个减(增)函数仍为增(减)函数.5.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数，奇函数的图像关于原点对称；如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的图像关于y轴对称。当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性.奇偶性的判定：①首先注意定义域D是否关于原点对称，②比较f(x)与f(-x)的关系.(函数的整体性质)定义：①xD,f(-x)= f(x)f(-x)－f(x)=0f(x)为偶函数；应用：利用f(-x)=f(x)=f(|x|)= f(-|x|)，把所求函数值都转移到区间(-∞,0]或[0,+∞),可避免讨论, 以简便计算.如：(i)(2009辽宁文)已知偶函数f(x)在区间0,)单调增加，则满足f(2x1)＜f()的x 取值范围

312，则 ②偶次方根 y=x)(n∈N *), 则

2n

③零指数幂或负指数幂y[f(x)]0(或y[f(x)],α

f(x)0且f(x)1g(x)，则或，ytanx{xxk,kZ}.

g(x)0

f(x)

⑤复合函数的定义域：(i)f[g(x)]的定义域为[a,b],指的是x的取值范围为[a,b].(ii)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是内层函数g(x)与h(x)的值域相同.(1)由y=f(x)的定义域为D，求y=f[g(x)]的定义域，须解g(x)∈D;

(2)由y=f[g(x)]的定义域为D，求y=f(x)的定义域，只需求g(x)在D上的值域就是y=f(x)的定义域.3.求函数值域主要的方法与技巧:①配方法：二次函数或能转化为如F(x)=a[f(x)]2+bf(x)+ c型的值域，均可用配方法求值域，但要注意f(x)的取值范围.如:(1)求y=2x2-4x+1, x∈[0,3]的值域;答案:[-1,7](2)求y=4x+2 x +1的值域.(1,+∞)②逆求法（反函数法）：通过反解，用y来表示x(或x的式子)，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解，型如：y

axbcxd,x(m,n),y

ac

;y21;yx1等.x

221

x1

x2

是()（A）（33,2）(B)［

33,2）(C)（1223,）(D)［

1223,）A

③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想，但要注意新元的取值范围;型如：yaxb

②xD,f(-x)=－f(x)f(x)+f(-x)=0f(x)为奇函数.x0D,f(-x0)≠-f(x0),f(x)不是奇函数；x0D,f(-x0)≠f(x0),f(x)不是偶函数.cxd.如：求yx2x1的值域.答案：[0.5,+∞)

判别方法：定义法，图像法.技巧：①把多个分式的和差，通分化简为一个分式再判断；②一个多项式函数为奇函数，它的偶次方项系数全为0；为偶函数，它的奇次方项系数全为0.③已知函数的奇偶性，求参数a的值.可用特值法快速解决.奇函数当x=0有意义时，必有f(0)=0.在x=0无意义，可利用f(1)f(1)；偶函数可利用f(1)f(1)等.如：(i)(2010江苏)设函数f(x)=x(e+ae)，x∈R，是偶函数，则实数a=______(ii)(2007海南)设函数f(x)

(x1)(xa)

x

x

-x

同时讨论y=ax+bx+c在区间[m,n]上最大值与最小值时需分四种情况(设x0

①

b2a

mn2)：

m;② m

b2a

x0;③ x0

b2a

n;④

b2a

n.若只讨论y=ax+bx+c(a>0)在区间[m,n]上最小值, 需分三种情况，只讨论最大值需分两种情况.(5)二次方程实数根的分布问题:设实系数一元二次方程f(x)ax2bxc0的两根为x1,x2,则:

2.方程f(x)0有实根函数yf(x)的图像与x轴有交点函数yf(x)有零点.为奇函数，则a=

对称轴问题：函数f(x)的对称轴为xaf(ax)f(ax)f(2ax)f(x)

f(2ax)f(x)f(x+a)为偶函数.一般地，若f(x)满足f(ax)f(bx)，则f(x)的对称轴为x

ab2

.应用：(1)等式存在性问题：存在x0D，使得g(a)=f(x)成立或函数F(x)= f(x)-g(a)在区间D上有零点，即方程F(x)=0在区间D上有解，求参数a的取值范围，等价于g(a)=f(x),x∈D,转化为求f(x)的值域问题.如：(i)方程log2(ax22x2)2在[

12,2]内有解，求实数a的范围.[

32,12]

6.性质与结论：①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且f(-x)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, 且x=0有意义，必定有f(0)=0.若奇函数在定义域上存在最大值M与最小值n，则M+n=0.②偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同；原函数与反函数在各自对应区间上单调性相同.7.不等式恒成立原理：(注意最值点是否取到，即端点值问题，最值不存在时，注意要加等号)(i)若g(a)≥f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)

若g(a)>f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)k.(ii)若g(a)≤f(x)对于x∈Ｄ恒成立若f(x)>k或f(x)≥k恒成立，则g(a)≤k；

若g(a)k恒成立，则g(a)≤k；若f(x)≥k恒成立，则g(a)

x

3.零点定理：若函数yf(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，yf(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）,使得f(c)0，c也就是方程f(x)0的根.(1)F(x)=f(x)-g(x)有几个零点方程f(x)-g(x)=0有几个不同解y= f(x)与y= g(x)有几个不同交点.(2)方程f(x)-g(x)=0的解所在的区间y= f(x)与y= g(x)交点横坐标所在的区间函数F(x)=f(x)-g(x)零点

所在的区间.5.反比例函数:y

ax

(a0)反比例型函数yc=

axb

.令xb0,得定义域:(-∞,-b)(-b,+∞)，x3x1

8.周期性：定义：若f(xa)f(x)，则函数的周期Ta.a恒成立，则a的取值范围是．a

5令yc0,得值域：(－∞,－c)(－c,+∞)；对称中心为(-b,-c)；渐近线x=-b和y=-c.当a>0时,在(－∞,－b)和(－b,+∞)上都是减函数;当a



结论：(1)若f(xa)f(x),则函数的周期T2a.(2)若f(xa)(3)若f(xa)

1f(x)

1f(x),则函数的周期T2a.6.幂函数:yx（常数是实数）叫做幂函数.了解=1，2，3，幂函数：yx①定义域：利用根式的意义确定；



12，-1时的图像形状.,则函数的周期T2a.若f(xa)f(xb),则函数的周期T|ba|.②值域:利用奇偶性与单调性确定；③奇偶性:利用根式的化简处理；

(4)若函数f(x)有两条对称轴xa,xb，则f(x)为周期函数，周期T2|ba|；(5)若函数f(x)有两个对称中心(a,0),(b,0)，则f(x)为周期函数，周期T2|ba|；

(6)若函数f(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)，则f(x)为周期函数，周期T4|ba|.最后三条周期的性质(4)、(5)、(6)可结合y=sinx的图象与性质加以理解记忆.9.二次函数在给定区间[m,n]的最值问题：考虑对称轴与区间的相对位置分类讨论.

④单调性:(i)当0时, yx在[0,+∞)是增函数,且过点(0,0)与(1,1)幂函数图象为抛物线型.在第一象限内，当0

1,抛物线靠近

x轴，当1,抛物线靠近y轴.

(ii)当0时, 幂函数图象为双曲线型，yx在(0,+∞)是减函数，且过点(1,1).指数函数：1.指数运算法则：①aa=a

a1(a0);④ap

mn m+n

;②a

m

a

n

a

mn

;③(a)a

m

n

m

mn

.

1a

p

1

a0;

a

p

a

p

n

a0;⑤a



aa0;an



n

a

m

a0

b(分数指数幂中分母为根式的根指数).a

*



a.b



2.根式的概念：如果一个数的n（n>1,n∈N）次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根.即若xn=a，则x叫做a的n次方根，(其中n>1,且n∈N*).式子a叫做n次根式，其中n叫做根指数，a a叫做被开方数.当a≥0时，na≥0.两个重要公式：nan|a|,n为偶数；

ｎ

a,n为奇数

a

n

a.3.指数函数的定义：形如yax（a0且a1）的函数叫做指数函数，其中x是自变量.4.指数函数yax在底数a1及0a1这两种情况下的图象和性质：

指数函数:y=ax(a>0,a≠1)①定义域：(-∞,+∞).②值域：(0,+∞)；图象恒过点(0,1),单调性与a的值有关,在解题中，要对a分a>1和0

③单调性：当a>1时，y=ax

在(-∞,+∞)是增函数，且过点(0,1)；

当0

(-∞,+∞)是减函数，且过点(0,1).指数函数图象

对数函数：

1．对数的定义：如果a

b

N

（a0且a1），那么数 b叫作以a为底N的对数，记作log

a

N。其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2；1的对数等于0;a的对数等于1。3．两种特殊的对数：（注：e是一个无理数，它的值是e= 2.71828„„)

①常用对数：以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记作lnN.4．对数的运算性质： ①(积的对数)loga(MN)= logaM +logaN；②(商的对数)logM

a

= logaM-logaN；

N

③(幂的对数)logaMn

= nlogaM5．对数的换底公式：换底公式log

n

a

b

logcb;推论：log

log

a

m

b

n



nc

a

m

log

a

b或log

a

n

b

log

a

b.几个重要等式：loglog

a

b

b;klogk

log

a1=0;logaa=1;aa

k

aa,ka

.(用于化为同底)

6．对数函数的定义：函数yloga

x(a>0且a≠1)叫作对数函数.ylog

a

x与yax

互为反函数。

(2)对数函数：y=logax(a>0,a≠1)①定义域:(0,+∞)；

②值域：(-∞,+∞)；

③单调性：当a>1时，logax在(0,+∞)是增函数，且过点(1,0)；

当0

单调性与a的值有关,在解题中,往往要对a分a>1和0

对数函数图象

注意：(1)指数式与对数式的互化：ab=N b=logaN；对数运算法则的双向运利用.(2)y=ax与y=logax互为反函数，它们的图象关系是关于直线y=x对称；

(3)比较两个指数或对数的大小的方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时,转化为同底数的指数或对数,有时还要注意与1比较或与0比较.(4)比较两个指数与底数都不同的指数式时,引入一个中间值,其指数与一个相同,底数与另一个相同.(5)已知函数f(x)log1(x2kx2)的定义域为R，求k的取值范围.已知函数f(x)log1(x2kx2)的值域为R，求k的取值范围.8.原函数与反函数之间的关系：(1)对应法则；(2)互为反函数的两个函数，图像关于直线y=x对称,反之成立；

(3)若点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，那么点(b,a)就必定在其反函数yf

1(x)的图像上.9.反函数：(1)定义：

(2)函数存在反函数的条件：只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；

(3)互为反函数的定义域与值域的关系：原函数的定义域就是反函数的值域；原函数的值域就是反函数的定义域.已知y=f(x)，求f

1

(a),可利用f(x)a，从中求出x,即是f

1

(a).(4)求反函数的步骤：①根据原函数定义域求出yf(x)的值域，即反函数的定义域；②将yf(x)看成关于x的方程，反解出xf1

(y)，若有两解，要根据定义域选择其一；③将x,y互换，得反函

数yf

1

(x)，并写出定义域.函数yf(abx)的反函数为y

1b[f

1

(x)a].如：求下列函数的反函数：f(x)x

22x3(x0)；f(x)

x

x

x；

21

f(x)log

x1

2(x0)(5)(6)原函数与反函数具有相同的单调性；(7)

(8)点M(a,b)在原函数或其反函数图象上,则点M关于直线y=x对称点M(b,a)必在对应的另一函数图

象上.如：(2006重庆理)设函数yf(x)的反函数为yf

yf

1

1

上移h下移h

(a0)平移|a|个单位即可得到； 1）y=f(x)y=f(x)+h；2）y=f(x)y=f(x)h(x)，且yf(2x1)的图像过点(,1)，则

②对称变换：(注意区别一个函数本身的对称性与两个函数之间的对称关系)

y轴

(x)的图像必过()（A）（-1,1)（B）(1,)（C）(1,0)（D）(0,1)答案为C.22

1

Ⅰ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x)y=f(x);

x轴

(9)已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a)；(10)f[f(x)]x;f[f

1

(x)]x.Ⅱ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于x轴对称即可得到；y=f(x)y= f(x);

原点

(11)证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同； 10.指数、对数函数型函数恒过定点问题,可利用基本函数法或图象变换法解决：

基本函数法是把所给函数化为标准的幂、指数、对数函数,利用其过定点解决.如:(1)函数y2a

∴函数

x

2Ⅲ.函数yf(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于原点对称即可得到；y=f(x)y= f(x);

yx

恒过定点().把y2ax2

y

Ⅳ.函数yf



1(x)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线yx对称得到：y=f(x)yf

xa

1

(x);

化为2

a

x2,令x-2=0,y2

=1,得x=2,y=2,Ⅴ.函数yf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于直线xa对称得到：y=f(x)y=f(2ax).VI.函数y2bf(2ax)的图像可以将函数yf(x)的图像关于点(a,b)对称得到；

(a,b)

y2

3x2

(2)(2007山东理)函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线

mxny10 上，其中mn0，则

1m2n

y=f(x)y=2b-f(2ax).函数yf(ax)与yf(bx)关于x③翻折变换：

ba2

对称.的最小值为．答案为8.注：指数、对数函数常与二次函数复合,处理技巧是把指数式或对数式换元，变成二次函数(注意新元的取值范围)问题.11.一个重要的函数(补充):(双曲函数):f(x)ax

bx

(a0,b0)

bx

(a0,b0)是奇函数；

Ⅰ.yf(x)的图象可以看作yf(x)的图象在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.Ⅱ.函数yf(|x|)的图像可以将函数yf(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yf(x)在y轴右边部分即可得到(注意：也可把它作为一个偶函数)

④伸缩变换：Ⅰ、函数yaf(x)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点横坐标不变,纵坐

ya

(1)定义域：(,0)(0,)；(2)奇偶性：f(x)ax(3)单调性：f(x)ax(a0,b0)在,

x





b

标伸长(a1)或压缩（0a1）为原来的a倍得到； y=f(x)y=af(x)

b与a

b

,是增函数;在

a

b

,0与0,a

b是减函数；

a

Ⅱ.函数yf(ax)(a0)的图像可以将函数yf(x)的图像中的每一点纵坐标不变,横坐标缩短

(a1)或伸长(0a1)为原来的1a

x1a

(4)值域：当x0时f(x)axb2ab，当且仅当x

x

ba

时等号成立；



ba

倍得到.y=f(x)y=f(ax).当x0时

b

f(x)(ax)()2ab

x，当且仅当x

时等号成立.故值域为(,2ab][2ab,).函数的图象与变换

①平移变换：

Ⅰ.水平平移：函数yf(xa)的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右

左移h

右移h

(a0)平移|a|个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x)y=f(xh)；

Ⅱ.竖直平移：函数yf(x)a的图像可以把函数yf(x)的图像沿x轴方向向上(a0)或向下

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