示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.5.2)_集合与函数概念教案

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2.5.2 用二分法求方程的近似解

整体设计

教材分析

本课题内容是高中数学课程中新增加的内容，是《函数与方程》这一节内容的深入探究.二分法是研究方程问题的新的方法，是数形结合这一数学思想的体现，也是创新思想的体现，新课改内容的显露.对于这些内容，教师要把握标准，教学时通过学生对已有知识的掌握和函数的图象来实现对二分法的理解.我们知道方程的根也叫做函数的零点，从几何图形的方面看，是函数图象与x轴的交点的横坐标，并且在课本内容的最后，我们得到一个结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m、n,m＜n，有f(m)·f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.我们把这个结论推广，对于一般的函数y=f(x)，只要在(m,n)上图象连续，就也有相同的结论，这个结论就是用二分法求方程的近似解的理论支持.求方程的根是常见的数学问题，在这之前，我们掌握了诸多就方程的根的代数方法，但没有得到所有求方程的根的通法.本节课试图从另外一个角度来研究代数问题，即从数形结合的思想出发，利用现代化的计算工具求方程的近似解.二分法尽管也不是一个通法，但是它对方程的形式要求比较低，只需在(m,n)上图象连续且f(m)·f(n)＜0即可.新课标明确提出了在数学教学中应该恰当运用现代信息技术，提高教学质量.这就是说我们必须重视信息技术与数学课程内容的有机整合，而这种整合的原则是有利于对数学本质的认识，即信息技术为数学服务，而不是数学课围绕着信息技术来展开，教师在教学中应予以关注.信息技术与数学课程内容的整合还有较大的开发空间，教师可在这方面进行积极的、有意义的探索，恰当使用信息技术，改善学生的学习方式，引导学生借助信息技术学习有关数学内容，探索、研究一些有意义、有价值的数学问题.三维目标

1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，并能够根据这样的过程进行实际求解.了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.2.通过学生的自主探究，了解逼近思想和极限思想；

3.适当借助现代化的科学工具解决问题，变人工计算为机器运算，把人从繁重的重复劳动中解脱出来.使学生体会到正面解决问题困难时可以采取迂回曲折的办法从侧面解决.重点难点

教学重点：

二分法的理解和操作流程.教学难点：

逼近思想的理解和近似解的取值.课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计思路一(情境导入)

播放录像(CCTV－2《幸运52》片断)

主持人李咏：……规则：30秒内猜出这件商品的价格，计价单位：元，……计时开始！(礼仪小姐给现场观众展示价格：1678元)

幸运观众：2000.中鸿智业信息技术有限公司

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主持人：高了！

观众：1000.主持人：低了！观众：1800.主持人：高了！

观众：1300.主持人：低了！

观众：1400.主持人：低了！

观众：1700.主持人：高了！

……

观众：1670.(剩余时间5秒)

主持人：低了！

观众：1671.主持人：低了！

观众：1672.主持人：低了！

观众：1673.(剩余时间3秒，现在观众和学生都高呼：“快！跳过去啊！”)

主持人：低了！

观众：1674.(学生替他着急)

主持人：低了！

观众：1675.(学生：“快！”)主持人：低了！观众：1676.主持人：时间到！(学生叹息！)

他为什么游戏失败？

学生甲：他一元一元往上加，太慢了，应该幅度大一点.那应该怎么加？

学生甲：刚刚开始猜的时候还可以，变化幅度比较大，后来不好.他过早开始1元1元往上加了，应该先100元100元加，再50元50元加，再10元10元，再5元5元，再2元2元，最后1元1元加.学生乙：还不好，应该每次猜的价钱都是前面最近的一次“高了”的价钱和“低了”的价钱的中点.大家说刚才两位同学的方法哪位更加好？

学生：乙的好.对！如果他早一点用同学乙的办法，那么奖品就非他莫属了.这个方法在我们数学上有没有理论依据？我们有没有学过和这个方法类似的知识？ 我们当然知道，游戏中的正确价格就在一次“高了”和一次“低了”的价格之间，这就像我们刚刚学过函数和方程的内容：如果一个函数y=f(x)对于实数m、n，m＜n，有f(m)f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0，也就是说，方程f(x)=0的根一定在区间(m,n)上.由于f(m)·f(n)＜0，相当于游戏中幸运观众猜的两次价格为m和n，这时主持人告诉我们一次“高了”和一次“低了”，正确价格就是那个x0.所以这个方法可以给我们提供一个解方程的思路：每次把方程的根(游戏中的正确价格)的所在区间缩小一半，最后确定出方程的近似解.中鸿智业信息技术有限公司

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引入课题：用二分法求方程的近似解

设计思路二(事例导入)

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的电话线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一个电线杆都要爬一次电线杆呢.想一想，你能帮他找到一个简单易行的方法吗？(鼓励学生设计方案)

思路引导：如图所示，他首先从中点C开始查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查.像这样每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半.设计思路三(问题导入)

在我们掌握的数学知识中，解方程既是一个重要知识和考查重点，又是解决其他数学问题的工具，我们已经掌握了不少类型方程的求解方法，但是还有许多方程我们仍然无法求解，例如方程lgx=3-x，要求出这个方程的解是较为困难的,我们能否求出这个方程的近似解呢?这节课我们就来研究这个问题.(引入课题)推进新课

新知探究

求方程x-2x-1=0的根.2当然我们可以用一元二次方程的求根公式来解，这时求得方程的精确解为x1,2=bb4ac2a2=

22422=1±2，精确到0.1的近似解为2.4和－0.4.现在我们作出函数f(x)=x2-2x-1的图象〔如图(1)〕，同学们能够估计根是多少吗？

根据前面的知识，我们知道，方程x2-2x-1=0的根就是函数f(x)=x2-2x-1的零点，由函数f(x)=x2-2x-1的图象〔图(１)〕，我们可以知道方程x2-2x-1=0的正根大概是多少？由于我们从图中可以看出f(2)＜0,f(3)＞0，所以这个根是2点几.这时如果我们要求方程的根精确到0.1，是不是可以确定根的近似值了？不行！现在我们把(2,3)的部分局部放大，看图(2)，我们发现f(因为f(232232)＞0，这时可以把方程的根限定在比(2，3)更小的范围内吗？为什么？)＞0，f(2)＜0，所以方程的根就在区间(2,2.5)内，我们继续下去，这样就可以把方程的根进一步缩小范围.定义：像这样每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个子区间的方法叫二分法，也叫对分法.中鸿智业信息技术有限公司

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当我们用二分法来求方程的近似解的时候，怎么样的区间才满足精确度的要求？对于这个问题，同学们要注意“精确到0.1”和“误差不超过0.1”是不一样的，只有当区间左右端点精确到0.1的近似值相等时，这个区间才满足精确到的要求，而不是区间长度小于0.1就可以了.(这一点要向同学们交待清楚，因为许多参考书都把上面两种说法混为一谈了)

现在请同学们用二分法来解决引例(这里作为例１).下面我们利用计算器来求方程x-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1).解：令f(x)=x2-2x-1，设方程x2-2x-1=0的正根为x1，作出函数的简图〔“新知探究”中图(1)和(2)〕.因为f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0，所以x1∈(2,3)，取2和3的平均数

因为f(2.5)=0.25＞0，又f(2)＜0，所以x1∈(2,2.5)，取2和2.5的平均数

22.522

232=2.5，=2.25,因为f(2.25)=-0.437 5＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.25,2.5)，取2.25和2.5的平均数

因为f(2.375)=-0.109 375＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.375,2.5)，取2.437 5和2.5的平均数

2.3752.522.252.52=2.375

=2.437 5,因为f(2.437 5)=0.066 406 25＞0，又f(2.375)＜0，所以x1∈(2.375,2.437 5).因为区间(2.375，2.437 5)的左右端点精确到0.1的近似值都是2.4，所以此方程精确到0.1的近似解为x1≈2.4.利用同样方法，我们还可以求出方程的另一个根的近似值.为了书写简便，也为了看起来更加清晰，我们用下面更简洁的方法来表示：

令f(x)=x2-2x-1，设方程x2-2x-1=0的另一个根为x2，f(-1)＞0,f(0)＜0x2∈(-1,0),f(-0.5)＞0,f(0)＜0x2∈(-0.5,0),f(-0.5)＞0,f(-0.25)＜0x2∈(-0.5,-0.25),f(-0.5)＞0,f(-0.375)＜0x2∈(-0.5,-0.375),f(-0.437 5)＞0,f(-0.375)＜0x2∈(-0.437 5,-0.375).因为－0.437 5与－0.375精确到0.1的近似值都为－0.4，所以此方程的近似解为 x2≈-0.4.错误解法：由于学生第一次接触二分法，计算又烦琐，所以容易把自己绕进去，对到底取哪个区间无所适从，最后算到什么程度结束也茫然，容易认为最后的区间长度小于0.1就是符合条件的范围，例如解出x1∈(2.375,2.5)时，由于区间中点为2.437 5，与区间两端的误差都小于0.1，所以就认为x1≈2.4.这个结果尽管正确，但是思路是有问题的，正确思路应该是区间两端的近似值相等.点评：二分法求方程的近似解的方法从一开始就必须严格按照要求一步一步求解，不能为了贪图方便而随意省略步骤.具体步骤如下：

1.寻找最初起步区间；(方法：函数图象法、函数特征法)

2.取区间中点，求中点的函数值；

3.选择符合要求的半区间作为新的区间；(其中的一个端点是中点，另一个端点是函数

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值与中点处的函数值异号的原区间的端点)

4.判断这个半区间是否满足精确度；(要求是左右端点的近似值相等)

5.若符合，这个相等的近似值就是方程的近似解，若不符合，回到步骤2继续计算，最后得到结论.为了帮助同学们理解这个过程，教师可以在解例１时用右图来辅助确定子区间，图中负号“-”表示此点所对应的函数值为负，正号“+”表示此点所对应的函数值为正.从图中可以更加清晰地看出根所在区间的不断减半缩小的过程.应用示例

例

1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确到0.1).分析：例2与例１有明显的不同，例１的方程对应的函数图象容易作出，所以根据图象初步判断方程的根的起步区间比较容易，而例2中，方程可以化为lgx-3+x=0，对应的函数是f(x)=lgx-3+x，无法作出它的图象.但是我们考虑原方程两边的对应函数都是我们熟悉的形式，分别是对数函数y=lgx和一次函数y=3-x，我们分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等即y值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.然后如同例１，利用二分法，多次把区间缩小，取其中符合条件的半区间，直到精确到符合要求为止.解：在同一坐标系内作出函数y=lgx和函数y=3-x的图象(如上图)，因为函数y=lgx是定义域内的增函数，函数y=3-x是定义域内的减函数，由图象可知，方程的根在区间(2,3)内，且只有这一个根.设方程的根为x1，令f(x)=lgx-3+x，用计算器计算，得

f(2)＜0,f(3)＞0x1∈(2,3),f(2.5)＜0,f(3)＞0x1∈(2.5,3),f(2.5)＜0,f(2.75)＞0x1∈(2.5,2.75),f(2.5)＜0,f(2.625)＞0x1∈(2.5,2.625),f(2.562 5)＜0,f(2.625)＞0x1∈(2.562 5,2.625).因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.点评：同样，在解题过程中，要提醒同学们注意保证计算的准确率，取近似解时的最后一个区间应该是哪一个，怎样判断我们的计算已经符合精确度的要求了.例

2作出函数y=x3与y=3x-1的图象,并写出方程x3=3x-1的近似解(精确到0.1).中鸿智业信息技术有限公司

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解：函数y=x与y=3x-1的图象如图所示,在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这三个交点的横坐标就是方程x=3x-1的解.3由图象可以知道,方程x3=3x-1的解分别在区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)内.那么,对于区间(-2,-1),(0,1)和(1,2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为

x1≈-1.9,x2≈0.3,x3≈1.5.例3

求方程2x+x=4的近似解(精确到0.1).解：方程2x+x=4可以化为2x=4-x.分别画函数y=2x与y=4-x的图象,如右图所示.由图象可以知道,方程2x+x=4的解在区间(1,2)内,那么对于区间(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解为x≈1.4.知能训练

课本第79页练习1、2.课本第81页练习1、2.解答：

课本第79页练习

1.设f(x)=x3+3x-1.因为f(0)=-1＜0，f(1)=3＞0，所以方程x3+3x-1=0在(0,1)内有解.中鸿智业信息技术有限公司

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2.略

3.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤.第一步：取一个区间(a,b)，使f(a)·f(b)＜0，令a0=a,b0=b；

第二步：取区间(a0,b0)的中点，x0=

12(a0+b0)；

第三步：计算f(x0)，①若f(x0)=0，则x0就是f(x)=0的解，计算终止；②若f(a)·f(x0)＜0，则解位于区间(a0,x0)中，令a1=a0，b1=x0；③若f(x0)·f(b0)＜0，则解位于区间(a0,b0)中，令a1=x0，b1=b0；

第四步：取区间(a1,b1)的中点，x1=程的解总位于区间(an,bn)内；

第五步：当an、bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.课本第81页练习

1.解法1：由2x2=3x-1，得2x2-3x+1=0，即(2x-1)(x-1)=0，所以x1=1，x2=解法2：由2x=3x-1，得2x-3x+1=0，即(x-

32212(a1+b1)，重复第二步和第三步，直到第n步，方

1234.-142

34)=

116，所以x1=

34+

14=1，x2=

=

12.2.设f(x)=x-2x-1.因为f(-1)=0，所以x1=-1是方程的解.所以f(x)=(x+1)(x-x-1).由x-x-1=0，得x=125，即x2≈-0.6，x3≈1.6.课堂小结

二分法是求方程的近似解一种方法，但是并不能求所有方程的解，只有在零点两侧函数值异号并且图象连续的函数，才能用二分法求解.求解时先根据图象或函数性质得到初始区间，然后取区间中点，求中点函数值，再取其中的一个子区间，如此循环，直到区间两端的近似值相等为止.当然，如果在求中点函数值的时候结果恰为0，则运算立即终止，中点值就是方程的零点.作业

课本第81页习题2.5 3、5.设计感想

《普通高中数学课程标准》要求能“根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法”.因此在教学过程中，教师应该引导学生甲联系的观点理解知识，沟通函数、方程、不等式及算法等内容，体现知识与知识之间、知识与实际之间的联系，使学生能够感受到多方面的联系，从整体上把握所学的数学知识，加强学生的应用意识，提高学生的数学创造力.函数应用的一个重要内容就是利用函数的性质和图象求解函数对应方程的根，二分法就是体现这种应用的方法.通过对二分法的学习，不仅使学生掌握一种求方程近似解的方法，而且通过对二分法的步骤的理解，开始懂得“有步骤、程序化”是算法思想的重要特征，为必修3中学习算法内容埋下伏笔.在本节课的教学中，我们通过求具体的方程的近似解介绍“二分法”并总结其实施步骤，注意让学生归纳概括所发现的结论或规律，并用准确的数学语言表述出来.近似的思想和逼近的思想在以往传统的数学学习中被忽视了，好像数学不讲究近似，其实这两种数学思想很重要.通过本节课的学习，可以使学生体会到函数与方程之间的紧密联系.有了函数的观点，中鸿智业信息技术有限公司

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对方程的认识和理解将会更加深入.二分法就是函数知识的一个应用，通过它可以求得方程的近似解.在选定的初始区间时，注意分析函数图象的变化趋势，通过试验确定端点.初始区间可以选的不同，不影响最终计算结果.二分法只是求方程近似解的一种方法，类似的还有0.618法、牛顿法与迭代法等.在教学过程中，我们要联系函数的零点与方程根的关系，利用函数的有关知识，求相应方程的近似解.培养学生“函数与方程的思想方法”，即对于某些函数的问题，从方程的角度去解决，或方程的问题用函数的观点去解决，充分体现函数与方程的有机联系.很多参考资料是源于人教版教材，而人教版(A)中的精确度是这样定义的：给定精度ε，若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a(或b).教材第105页给出例2，要求“精确到0.1”，解答中提到“由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，此时区间(1.375－1.437 5)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4”，所以两套教材并不矛盾.人教版(B)中精确度的定义与(A)版一致，在教材第79页给出一个例题，要求是“误差不超过0.1”，所以用|a-b|＜ε也是正确的.但是按照苏教版精确度的定义，正确的处理方法应该是“区间两个端点的近似值相等”.习题详解

课本第81页习题2.5

1.解法1：∵Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0没有实数根.解法2：令f(x)=x2+x+1它的图象是开口向上，对称轴为直线x=

∴当x=1212的抛物线，时，y有最小值ymin=f(12)=(12)2+(12)+1=

34＞0.∴函数的图象全部在x轴上方，∴方程x2+x+1=0没有实数根.2.令f(x)=5x2-7x-1

∵f(-1)·f(0)=(5+7-1)×(-1)=-11＜0，∴方程的一个根在区间(－1，0)内.同理f(1)·f(2)=(5-7-1)×(5×22-7×2-1)=-15＜0，∴方程的另一个根在区间(1，2)内.2

3.令f(x)=x-2x-2，作出函数的示意图，设函数的一个零点为x1，由图象可知，f(2)＜0,f(3)＞0.用计算器计算，得

f(2)＜0,f(3)＞0x1∈(2,3),f(2.5)＜0,f(3)＞0x1∈(2.5,3),f(2.5)＜0,f(2.75)＞0x1∈(2.5,2.75),f(2.625)＜0,f(2.75)＞0x1∈(2.625,2.75),f(2.718 75)＜0,f(2.75)＞0x1∈(2.718 75,2.75),f(2.718 75)＜0,f(2.734 375)＞0x1∈(2.718 75,2.734 375).中鸿智业信息技术有限公司

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因为2.718 75与2.734 375精确到0.1的近似值都为2.7，所以原方程的近似解为x1≈2.7.类似地可以求得另一个近似解为x2≈-0.7.点评：本题严格按照要求严格这样算，但是在具体计算过程中，可少算一步.当计算得到x1∈(2.718 75,2.75)时，尽管区间两端的近似值不同，左端点的近似值为2.7，右端点的近似值为2.8，但是由于x1＜2.75，所以只要比2.75小任何一点点，近似值都只能是2.7，所以到这一步其实我们已经可以确定x1的近似值只能是2.7了.至于另一个根x2，我们完全可以利用二次函数的对称性得到，因为函数的对称轴为直线x=1，所以x1+x2=2，所以x2≈-0.7，而没有必要再进行如此重复的运算了.所以这里可以告诫学生，知识是死的，方法是活的，我们应该灵活应用所掌握的知识.4.解法1：由x2-3x-10=0，得(x-5)(x+2)=0，所以x1=-2，x2=5.解法2：由x-3x-10=0，得x=2

39402372，所以x1=-2，x2=5.5.(1)作出函数y=lg2x和函数y=-x+1的图象〔图(1)〕

图(1)

令f(x)=lg2x+x-1，由图象可知，函数只有一个零点在区间(0.5，1)内.由计算器计算，可得：

f(0.5)＜0,f(1)＞0x1∈(0.5,1), f(0.75)＜0,f(1)＞0x1∈(0.75,1),f(0.75)＜0,f(0.875)＞0x1∈(0.75,0.875),f(0.75)＜0,f(0.812 5)＞0x1∈(0.75,0.812 5),因为0.75与0.812 5精确到0.1的近似值都为0.8，所以原方程的近似解为x1≈0.8.x

(2)作出函数y=3和函数y=x+4的图象〔图(2)〕.令f(x)=3x-x-4，由图象可知，函数的一个零点在区间(1，2)内，设其为x1

图(2)

由计算器计算，可得：

f(1)＜0,f(2)＞0x1∈(1,2),f(1.5)＜0,f(2)＞0x1∈(1.5,2),f(1.5)＜0,f(1.75)＞0x1∈(1.5,1.75),f(1.5)＜0,f(1.625)＞0x1∈(1.5,1.625),f(1.5)＜0,f(1.562 5)＞0x1∈(1.5,1.562 5),f(1.531 25)＜0,f(1.562 5)＞0x1∈(1.531 25,1.562 5),中鸿智业信息技术有限公司

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f(1.546 875)＜0,f(1.562 5)＞0x1∈(1.546 875,1.562 5),f(1.554 687 5)＜0,f(1.562 5)＞0x1∈(1.554 687 5,1.5625).因为1.554 687 5与1.562 5精确到0.1的近似值都为1.6，所以原方程的近似解为x1≈1.6.类似地可以求得另一个近似解为x2≈-4.0.中鸿智业信息技术有限公司

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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ习题课(二))

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