高考数学复习函数的解题技巧和方法_高考数学函数总复习

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高中数学函数知识点总结 1.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)2.求函数的定义域有哪些常见类型？

x4x例：函数

y的定义域是（答：0，22，33，4）2lgx3

函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数

ytanxxR,且xk,k

2,且xxR,kk余切函数

ycotx反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函数y＝arctgx的定义域是 R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是 R，值域是(0, π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3.如何求复合函数的定义域？  如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)(fx)(f)x的定义域是_____________。（答：a，a）,nymfg(x)复合函数定义域的求法：已知的定义域为，求的定义域，可由解y(xf)m(gx)ny(x)出fgx的范围，即为的定义域。

1(logfx)例

若函数的定义域为，则的定义域为。,2y(xf) 22 111y(logxf)分析：由函数的定义域为可知：；所以中有。logx2x2,2y(fx)

222221解：依题意知： logx2 22 2x4 解之，得

 f(logx)∴ 的定义域为 x|2x244、函数值域的求法

1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例 求函数y=的值域

x2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。x

3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 b型：直接用不等式性质a.y 2k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式 2xmxnx11 例：y

1221+xx+ x2xmxn c..y型 通常用判别式 2xmxn2xmxnd.y型

xn 法一：用判别式

法二：用换元法，把分母替换掉22xx1（x+1）（x+1）+1 1

例：y（x+1）121

x11x1x、反函数法14 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x4例 求函数y=值域。5x65、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。xe12sin12sin例 1求函数y=，的值域。yy x1sin1cose 1 xeyxye1

12sin

|sin|

||

1, xyeyy11sin

22sin

2sin

1yyy

(12cos)



yyy1

cos

2sin

cos

yxy即xy4sin（）

1,sin（）

1y又由x知y解不

sin（）

124等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

logx5 2例求函数y=（2≤x≤10）的值域 x1

7、换元法 通过简单

3的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。22例：已知点P（x.y）在圆x+y=1上，y的取值范围(1)x(2)y-2x的取值范

2例 求函数y=x+的值域。x1 8 围y 解:(1)令k则ykx是,（2),一条过(-2,0)的直线.x dRd

2(为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2xb,即y2

xb0,也是直线d dR 22（x2)（x8)

例求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）22xx例求函数

y=+的值域

6x134x 2222(x3)(02)(x2)(0解：原函数可变形为：1)y=+  上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当

22(32)(2 1)

点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，43min 故所求函数的值域为[，+∞）。43注：求两距离之和时，要将函数 9、不等式法  R

53abc利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析ab式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。2例： 2x(x0)x 111122=x3x 

xxxx33

3(应用公式a+b+c3abc时，注意使3者的乘积变成常数）

2x(3-2x)(0

x2例 求函数y=的值域

x3

高考数学解题技巧

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