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平行线及其判定（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜
【学习目标】
1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系； 2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.【要点梳理】
要点
一、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 要点诠释：
(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.要点
二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与
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判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言： ∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】
类型
一、平行线的定义及表示
1．下列说法正确的是（）
A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】D
【解析】平行线定义中三个关键词语：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”.【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断． 类型
二、平行公理及推论
2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：()A．1个
B．2个
C．3个
D．4个 【答案】B
【解析】正确的是：（1）(3).【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别． 举一反三：
【变式】下列说法正确的个数是（）
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.（2）两条直线被
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（3）两条直线被
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【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来．
【答案与解析】
解法1：如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
∵
∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，∴
∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代换)．
∴
AB∥CM，EF∥DN(内错角相等，两直线平行)．
又∵
∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，∴
∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性质)．
∴
∠DCM＝∠CDN(等量代换)．
∴
CM∥DN(内错角相等，两直线平行)．
∵
AB∥CM，EF∥DN(已证)，∴
AB∥EF(平行线的传递性)．
解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．
∵
∠BCD＝45°，∴
∠NCB＝135°．
∵
∠B＝25°，∴
∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵
∠CDE＝30°，∴
∠EDM＝150°．
又∵
∠E＝10°，∴
∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的内角和等于180°)．
∴
∠CNB＝∠EMD(等量代换)．
所以AB∥EF(内错角相等，两直线平行)． 【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取．
举一反三：
【高清课堂：平行线及判定403102经典例题2 】【变式1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．
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【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵
BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，∴
∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵
∠1+∠2＝90°，∴
∠ABD+∠CDB＝180°．
∴
AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【高清课堂：平行线及判定403102 经典例题4 】
【变式2】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：CD//EF．
【答案】
证明：∵ABBD于B，CDBD于D，∴AB∥CD．
又∵1+2=180°，∴AB∥EF． ∴CD//EF．
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