8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直_向量法证明立体几何

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§8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明

平行与垂直

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1.已知空间三点A（0,2,3），B（-2,1,6），C（1，-1,5）若a

a分别与AB,AC垂

直，则向量a为

A.1，1，1

B.－1，－1，－1

C.1，1，1或－1，－1，－1

D.1，－1，1或－1，1，－1,2.已知a＝1，1，1，b＝0，2，－1，c＝ma＋nb＋4，－4，1.若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为,A.－1，2B.1，－2C.1，2D.－1，－

23.已知a＝1,,，b＝3,,

A352215满足a∥b，则λ等于 22992.B.C.－D.－ 32234.已知AB＝1，5，－2，BC＝3，1，z，若AB⊥BC，BP＝x－1，y，－3，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为A.33154015，－，4B.，－，4 77774040，－2，4D.4，－15 77C.5.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是,A.a＝1，0，0，n＝－2，0，0

B.a＝1，3，5，n＝1，0，1

C.a＝0，2，1，n＝－1，0，－1

D.a＝1，－1，3，n＝0，3，1

二、填空题每小题7分，共21分

6.设a＝1，2，0，b＝1，0，1，则“c＝(,,的条件.7.若|a|，b＝1，2，－2，c＝2，3，6，且a⊥b，a⊥c，则a＝.,8.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为

三、解答题共44分

9.14分已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量

10．(15分)如图，已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA

1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：

3EM⊥面BCC1B1.11．(15分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB2，AF

＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.答案

1.C2.A3.B4.B5.D

6.充分不必要7.23132)”是“c⊥a，c⊥b且c为单位向量”3118118,2,或，2,8.1 555

5.9.解 以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示.,设

正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则A1，0，0，M(1，1，11)，N(0，1)).∴2

211AM1,0,,AN0，1设平面AMN的一个法向量为22

n＝x，y，z,1nAMyz02 nANx1yz02

令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)．

∴(－3,2，－4)为平面AMN的一个法向量．

10.证明 建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，→BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→所以BD1=BE+BF，故BD1，BE，BF共面．

又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．

(2)如图，设M(0,0，z)，2→0，－z，而BF＝(0，3，2)，GM＝3

得z＝1.→2由题设得GMBF=3z20，3因为M(0,0，1)，E（3,0,1），所以ME＝(3,0,0)．

→→又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.11.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22，0、(0,0,1)． 22

22∴NE＝－1.22

又点A、M的坐标分别是，0)、2222→，AM＝－，1.，1，2222→∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22→(2)由（1）知AM＝1，∵D(2，0,0)，F22，1)，DF＝(0，2，22

1)．

→→→→AM·DF＝0.∴AM⊥DF.→→同理AM⊥BF，又DF∩BF

＝

F，∴AM⊥平面BDF.

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