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外拿破仑三角形的证明
设△ABC，它向外作的正三角形中心分别为D、E、F
设BC=根号3a,AC=根号3b,AB=根号3c
则AD=BD=c,AE=CE=b,BF=CF=a
易证∠DAE=60+∠BAC
cos∠DAE=cos(60+∠BAC)=cos60*cos∠BAC-sin60*sin∠BAC
cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc,sin∠BAC=根号3a/2R(R为△ABC外接圆的半径)cos∠DAE=(b^2+c^2-a^2)/4bc-3a/4R
由余弦定理得
DE^2=AD^2+AE^2-2cos∠DAE*AD*AE
=b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)/2+3abc/2R
=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R
同理可得DF^2=EF^2=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R
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