高中总复习第一轮数学 第六章 6.3 不等式的证明(二)_高中数学第一轮总复习

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6.3 不等式的证明(二)巩固·夯实基础

一、自主梳理

1.用综合法证明不等式:利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法,概括为“由因导果”.2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.除三种基本方法外,还有以下常用方法:

(1)反证法:是先假设结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或已经知道的结论相矛盾的结果,从而说明结论成立.(2)换元法:原不等式的代数式,经适当的三角代换或代数换元,能使证明的过程简化.(3)放缩法:借助于不等式的传递性,要证a>b,只需证a>c,c>b,或借助于其他途径放缩,如舍项、添项等.值得注意的是,放缩法是高考的“热点”，特别在解答题中，注意使用.(4)构造函数法、导数法在证明不等式时,也经常使用.(5)数学归纳法证明不等式在数列中的运用也应引起重视.链接·提示

不等式证明方法多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用.二、点击双基

1.(2006上海春季高考)若a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是（）A.1a

B.a2>b2

C.ac12>

bc1

2D.a|c|>b|c| 解析：由不等式的性质容易得答案C.答案：C 2.(理)(2005北京春季高考)若不等式(-1)a

）A.［-2,32n

(1)nn1对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范］

B.[-2,32)

C.［-3,32］

D.(-3,32)解析:当n为正偶数时,a

1n

∴a

而-2-答案:A 1n=32.当n为正奇数时,-a

1n,a>-2-

1n.32为增函数,-2-

)

baA.a2＜b2

B.ab＜b2

C.+

ab＞2

D.|a|+|b|＞|a+b|

解析:由1a＜1b＜0,知b＜a＜0.∴A不正确.答案:A 3.(2006湖北八校联考)设函数f(x)是定义在R上,周期为3的奇函数,若f(1)

)A.a

B.-1

C.a0

D.-1

∴-f(2)

即-

∴2a1a13a 0,即3a(a+1)>0.∴a0.故选C.答案:C 4.(2005上海春季高考)同学们都知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a1,a2,„,an满足a1≤a2≤„≤an,则________(结论用数学式子表示).解析：设原有人数为n,去掉n-m个人(1≤m

n个人的平均分为a1a2anna1a2amm;

m个人的平均分为.依题意,a1a2amm≤

a1a2ann, am1am2annma1a2amm≥

a1a2anna1a2ann

答案:≤(1≤m

am1am2annm≥a1a2ann(1≤m

【例1】 设实数x、y满足ｙ＋x=0，0＜a＜1.求证：loga（a＋a）

2x

y

18．剖析:不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.证明:∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2axy=2axx．

∵x-x2=x

214-（x-121）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4=2a8．

1y

∴loga（a＋a）

18．1讲评:本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求证：

（1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).剖析:在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴要证原不等式成立,即证［(a+b+c)+a］·［(a+b+c)+b］［(a+b+c)+c］≥8［(a+b+c)-a］·［(a+b+c)-b］·［(a+b+c)-c］,也就是证［(a+b)+(c+a)］［(a+b)+(b+c)］·［(c+a)+(b+c)］≥8(b+c)(c+a)(a+b).①

∵(a+b)+(b+c)≥2(ab)(bc)＞0,(b+c)+(c+a)≥2(bc)(ca)＞0,(c+a)+(a+b)≥2(ca)(ab)＞0,三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例3】 已知a、b∈R.求证:|ab|1|ab|+

xy≤|a|1|a|+

|b|1|b|.证法一:当|a+b|=0时,原不等式成立.当|a+b|≠0时, |ab| 1|ab|=111|ab|≤111|a||b|=

|a||b|1|a||b|

=|a|1|a||b||a|1|a|+

|b|1|a||b|

≤+|b|1|b|.x证法二:构造函数f(x)=

研究其单调性, 1x(x≥0)，f′(x)=1xx(1x)2=

1(1x)2>0.∴f(x)在［0,+∞］上单调递增.∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|ab|1|ab||a|1|a|≤|a||b|1|a||b|=

|a|1|a||b|+

|b|1|a||b|

≤+|b|1|b|.讲评:证法一是放缩法,证法二是单调性法,这样直接证可以吗? |ab| 1|ab|≤|a||b|1|a||b|.分式放缩时,分子、分母能同时放大或缩小吗? 应用·习题精练

巩固篇

1.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有（）

16412A.最大值64

B.最小值64

C.最大值2x

D.最小值

解析：1=+8y≥22x8y=8

1xy,∴xy≥64.答案：B 22222.已知m+n=1,a+b=2,则am+bn的最大值是（）A.1

B.32

C.2

D.以上都不对

解析：三角代换:令m=cosα,n=sinα,a=2cosβ,b=2sinβ.am+bn=2cos(α+β)≤2.答案：C 3.已知01且ab>1,则下列不等式中成立的是（）A.logb1b1b 1b 1101b1b

1b

1b

C.logabloga

,b=100.4.已知|a+b|-b+c;③a

∴c

∴a-b+c,①②成立.又|a|-|b|

∴|a|

当a=3,b=-3,c=-1时,虽|a+b|=0

但3>3-1=2,3>-3+1,故③⑤不成立.答案:①②④

25.已知a＞b＞c且a+b+c=0,求证：bac＜3a.证明:要证222bac＜3a,只需证b-ac＜3a,即证b2+a(a+b)＜3a2,即证(a-b)(2a+b)＞0,即证(a-b)(a-c)＞0.∵a＞b＞c,∴(a-b)(a-c)＞0成立.∴原不等式成立.6.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0.证法一:(综合法)∵a+b+c=0,∴（a+b+c）2=0.展开得ab+bc+ca=-

∴ab+bc+ca≤0.证法二:(分析法)要证ab+bc+ca≤0,∵a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即证12abc2222, ［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，∴原不等式成立.证法三:∵a+b+c=0，∴-c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)=-a-b-ab=-［（a＋

∴ab+bc+ca≤0.提高篇

7.设a、b、c均为实数，求证：证明:∵a、b、c均为实数，∴1212a12b

222

b2）＋

3b42］≤0．

++

12c≥

1bc+

1ca+

1ab.（12a＋12b）≥

12ab

≥

1ab，当a=b时等号成立；

1212（12b＋12c12a）≥

12bc≥

1bc1ca，当b=c时等号成立；

（12c＋）≥

12ca12a≥

1,当c=a时等号成立．

11bc1ca1ab

三个不等式相加即得号成立.＋

2b＋

2c≥＋＋，当且仅当a=b=c时等8.(全新创编题)有一位同学写了一个不等式

x1cxc22≥

1cc(x∈R),她发现当c=1,2,3时,不等式都成立,试问:不等式是否对任何正实数c都成立?为什么? 解：设f(x)=x1cxc22,z=

2xc(z≥c),则f(x)-1cc=(zc1)(zzcc),原不等式成立.则(zc1)(zzc1cc)≥0,1c1c

只需zc-1≥0x2≥

-c-c≤0≤cc≥1.故原不等式对任何正数c不都成立.教学参考

一、教学思路

1.若已知x+y=a或22

2xa22+

yb22=1常用三角代换.2.放缩时,最重要的是放缩适度,特别地,认真总结放缩的技巧,充分运用不等式的性质,及均值不等式、绝对值不等式和题设条件是进行放缩的关键.3.函数的有关知识如值域、单调性,在证明不等式时也应考虑.4.分析法与综合法相互转换、互相渗透、互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题的思路,开阔视野;放缩法和换元法的合理运用,可以摆脱习惯思维方法的局限,转换解题途径;反证法是逆向思维的过程,它能增大思维的发散量,克服思维定势的影响.5.证明不等式是学习不等式的主要目的之一,复习中应时刻强化“考试要求”中所陈述的证明不等式的基本方法:比较法(作差、作商)、综合法、分析法.在熟练掌握这三种基本方法的同时,还应根据题目的特点,试探着使用数学归纳法、判别式法、换元法、函数法、反证法等证明通法,以融会贯通所学知识和方法.二、注意问题

1.在证明不等式的过程中,分析法和综合法是不能分离的,如果使用综合法证明不等式难以入手时,常用分析法探索证题途径,之后用综合法的形式写出它的证明过程,以适应学生习

惯的思维规律.有时问题证明难度较大,常使用分析综合法,实现两头往中间靠以达到证题目的.2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题,常常与函数、数列、三角、方程综合在一起,不等式的证明除常用的三种方法外,还需学会其他方法,如函数的单调性法、判别式法、换元法(特别是三角换元)、放缩法以及数学归纳法等,注意它们之间的知识交汇联系.三、参考资料

【例1】 已知a、b为正数，求证：

（1）若a+1＞b,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

xx1xx1＞b成立；

＞b成立，则a+1＞b.剖析:对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：(1)证明过程中代入条件；(2)由条件变形得出要证的不等式.证明:(1)ax+xx11x1=a(x-1)+

+1+a≥2a+1+a=(a+1)2.∵a+1＞b(b＞0), 22

∴(a+1)＞b.(2)∵ax+

而ax+xx1x＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+

1x1xx1］min＞b, x1=a(x-1)+1+1+a≥2a+1+a=(a+1)2,1a

当且仅当a(x-1)=x1，即x=1+＞1时取等号.故［ax+

xx1］min=(a+1)2.则(a+1)2＞b,即a+1＞b.【例2】(2005湖南高考,文)已知数列{log2(an-1)}(n∈N)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明1a2a1*+1a3a2+„+

1an1an

由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28得d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)证明:∵1an1an1a2a1=

12n12n=

12n,∴+1a3a2+„+

1an1an

=12+1122+„+1212n12n

=2(21)=1-12n

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