k5高考第一轮复习数学：6.6 不等式的应用_高考数学总复习不等式

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6.6 不等式的应用

●知识梳理

1.运用不等式求一些最值问题.用a+b≥2ab求最小值；用ab≤（ab2）≤

2a2b22求最大值.2.某些函数的单调性的判定或证明也就是不等式的证明.3.求函数的定义域，往往直接归纳为解不等式（组）.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最值都与不等式有密切联系.5.利用不等式可以解决一些实际应用题.●点击双基

1.已知函数f（x）=log1（x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，则实数a的范围是

2A.（－∞，4］ C.（0，12）

2B.（－4，4］ D.（0，4］

解析：∵f（x）=log1（x－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，∴u=x2－ax+3a在［2，+∞）上为增函数，且在［2，+∞）上恒大于0.a2，∴2 42a3a0.∴－4＜a≤4.答案：B 2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是

A.32

223 cm

B.4 cm D.23 cm2 C.32 cm2

解析：设两段长分别为x cm，（12－x）cm，则S=34（x3）2+

34（12x3）2=

318（x2－12x+72）=

318［（x－6）2+36］≥23.答案：D 3.（理）如果0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且logaxlogay=1，那么xy A.无最大值也无最小值 B.有最大值无最小值 C.无最大值有最小值 D.有最大值也有最小值 解析：∵logax+logay≥2log∴logaxy≥2.axlogay=2，知识就是力量

∴0＜xy≤a.答案：B（文）已知a＞b＞c＞0，若P=A.P≥Q

1bca2，Q=

acb，则

D.P＜Q

B.P≤Q C.P＞Q

解析：特殊值检验.a=3，b=2，c=1.P=，Q=1，P＜Q.3答案：D 4.已知实数x、y满足解析：由xyxy=x－y，则x的取值范围是_______.=x－y，得y2－xy+x=0.∵y∈R，∴Δ=x2－4x≥0.∴0≤x≤4.∵x=0时y=0不符合题意，∴0＜x≤4.答案：0＜x≤4 2x4x30，5.已知不等式组的解集是不等式2x6x802x2－9x+a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是____________.2x4x30，解析：由2得x6x80，2＜x＜3.则f（2）0f（3）0a≤9.答案：（－∞，9］ ●典例剖析 【例1】 函数y=2axbx2axbx22的最大值为4，最小值为－1，求常数a、b的值.1剖析：由于函数是分式函数，且定义域为R，故可用判别式法求最值.解：由y=去分母整理得

① 1yx2－2ax+y－b=0.对于①，有实根的条件是Δ≥0，即（－2a）2－4y（y－b）≥0.∴y2－by－a2≤0.又－1≤y≤4，∴y2－by－a2=0的两根为－1和4.14b，a2，a2，∴解得或 2b3b3.14a.评述：这是关于函数最大值、最小值的逆向题.深化拓展

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已知x、y∈R+且2x+

8y=1，求x+y的最小值.本题不难求解（读者不妨求解）.由本题的启发，你能解下列问题吗？ 已知a、b是正常数，a+b=10，又x、y∈R，且ax++by=1，x+y的最小值为18.求a、b的值.略解：x+y=（x+y）（2yx8xy2x8y）=10+

2yx+

8xy≥10+

22yx8xy=18.当且仅当时取等号.821，x6，由xy解得

y12.22y4x∴当x=6，y=12时，x+y的最小值为18.同上题，x+y=（x+y）（ab2ab18，ab10，ax+

by）=a+b+

ayxbxy≥a+b+2ab.由得a2，b8，或a8，b2.【例2】 已知a＞0，求函数y=

x2a1x2的最小值.a解：y=x2a+x12，a1x2当0＜a≤1时，y=x2a+≥2，a当且仅当x=±1a时取等号，ymin=2.当a＞1时，令t=x2a（t≥a）.y=f（t）=t+.t1f（t）=1－1t2＞0.∴f（t）在［a，+∞）上为增函数.∴y≥f（a）=a1a，等号当t=a即x=0时成立，ymin=

a1a.综上，0＜a≤1时，ymin=2；

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a＞1时，ymin=a1a.【例3】 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0且bc≠0）.（1）若| f（0）|=| f（1）|=| f（－1）|=1，试求f（x）的解析式；

（2）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的图象在x轴上截得的弦的长度为l，且0＜l≤2，试确定c－b的符号.解：（1）由已知| f（1）|=| f（－1）|，有|a+b+c|=|a－b+c|，（a+b+c）2=（a－b+c）2，可得4b（a+c）=0.∵bc≠0，∴b≠0.∴a+c=0.又由a＞0有c＜0.∵|c|=1，于是c=－1，则a=1，|b|=1.∴f（x）=x±x－1.（2）g（x）=2ax+b，由g（1）=0有2a+b=0，b＜0.设方程f（x）=0的两根为x1、x2.∴x1+x2=－ba2=2，x1x2=

ca.ca24x1x2=44则|x1－x2|=（x1x2）.由已知0＜|x1－x2|≤2，∴0≤

ca＜1.又∵a＞0，bc≠0，∴c＞0.∴c－b＞0.●闯关训练

夯实基础

1.已知方程sin2x－4sinx+1－a=0有解，则实数a的取值范围是 A.［－3，6］

B.［－2，6］

解析：∵a=（sinx－2）2－3，|sinx|≤1，∴－2≤a≤6.答案：B 2.当x∈［－1，2］时，不等式a≥x2－2x－1恒成立，则实数a的取值范围是 A.a≥2

B.a≥1

C.a≥0

D.a≥－2 解析：当x∈［－1，2］时，x2－2x－1=（x－1）2－2∈［－2，2］.∵a≥x－2x－1恒成立，∴a≥2.答案：A 3.b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），则糖水变甜了.试根据这一事实，提炼出一个不等式____________.解析：答案：abab

2C.［－3，2］

D.［－2，2］

＜＜ambmambm.4.若a＞0，b＞0，ab≥1+a+b，则a+b的最小值为____________.解析：1+a+b≤ab≤（2

ab2）2，∴（a+b）－4（a+b）－4≥0.知识就是力量

∴a+b≤4422或a+b≥

4422.∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2+22.答案：2+22

5.已知正数x、y满足x+2y=1，求解：∵x、y为正数，且x+2y=1，∴1x1x+

1y的最小值.+2yx1y=（x+2y）（xy1x+

1y）

=3++≥3+22，xy当且仅当1x2yx=，即当x=2－1，y=1－

22时等号成立.∴+1y的最小值为3+22.2x1x26.（2004年春季上海）已知实数p满足不等式有无实根，并给出证明.解：由2x1x2＜0，试判断方程z－2z+5－p=0

22＜0，解得－2＜x＜－1212.∴－2＜p＜－2.22∴方程z－2z+5－p=0的判别式Δ=4（p－4）.∵－2＜p＜－∴Δ＜0.由此得方程z2－2z+5－p2=0无实根.培养能力

7.（2003年全国）已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x－2c|＞1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.解：函数y=cx在R上单调递减0＜c＜1.不等式x+|x－2c|＞1的解集为R函数y=x+|x－2c|在R上恒大于1.∵x+|x－2c|=2x2c2cx2c，x2c，12，14＜p2＜4，∴函数y=x+|x－2c|在R上的最小值为2c.∴不等式x+|x－2c|＞1的解集为R2c＞1c＞如果P正确，且Q不正确，则0＜c≤如果P不正确，且Q正确，则c≥1.1212..知识就是力量

∴c的取值范围为（0，12］∪［1，+∞）.8.已知函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R）且当x≤1时，f（x）≥0，当1≤x≤3时，f（x）≤0恒成立.（1）求b、c之间的关系式；（2）当c≥3时，是否存在实数m使得g（x）=f（x）－mx在区间（0，+∞）上是单调函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知f（1）≥0与f（1）≤0同时成立，则必有f（1）=0，故b+c+1=0.（2）假设存在实数m，使满足题设的g（x）存在.∵g（x）=f（x）－mx=x+（b－m）x+c开口向上，且在［∴m2

2222

m2b2，+∞）上单调递增，b2≤0.∴b≥m2≥0.∵c≥3，∴b=－（c+1）≤－4.这与上式矛盾，从而能满足题设的实数m不存在.探究创新 9.有点难度哟！已知a＞b＞0，求a+解：∵b（a－b）≤（∴a2+162

16b（ab）的最小值.2bab2）=

a24，b（ab）≥a2+

64a2≥16.bab，a22，当且仅当2，即时取等号.a8b2深化拓展

a＞b＞0，求b（a－b）·提示：b（a－b）≤答案：4 ●思悟小结

1.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.2.建立不等式的主要途径有：（1）利用问题的几何意义；（2）利用判别式；（3）利用函数的有界性；（4）利用函数的单调性.3.解不等式应用问题的三个步骤：（1）审题，必要时画出示意图；

（2）建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系；

（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.4.利用重要不等式求最值时，要注意条件：一正、二定、三相等，即在x+y≥2xy中，x和y要大于零，要有定积或定和出现；同时要求“等号”成立.a216a2的最大值.4.知识就是力量

5.化归思想在本节占有重要位置，等式和不等式之间的转化、不等式和不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等，对于这些转化，一定要注意条件.●教师下载中心 教学点睛

1.应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把等量关系转化为不等量关系，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式的问题求解.2.应用不等式解决应用问题时，应先弄清题意，根据题意列出不等式或函数式，再利用不等式的知识求解.3.与不等式相关联的知识较多，如函数与不等式、方程与不等式、数列与不等式、解析几何与不等式，要善于寻找它们之间的联系，从而达到综合应用的目的.拓展例题

【例1】（2003年福建质量检测题）已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n＞0；

（2）f（m）＜f（m+n）＜f（n）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log

21n12

2① ②

.由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.由②得m+1=1n1，即（m+1）（n+1）=1.③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.∵0＜m+1＜n+1，∴

（m1）（n1）2＞（m1）（n1）=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数.由（1）知m2－（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n＞0，∴m（m+n）＜0.∴m2－（m+n）＜0，0＜m2＜m+n.∴f（m2）＜f（m+n）.同理，（m+n）－n=－mn－n=－n（m+n）＜0，∴0＜m+n＜n2.∴f（m+n）＜f（n2）.∴f（m）＜f（m+n）＜f（n）.【例2】 求证：对任意x、y∈R，都有

772xx12222

≤5－3y+

4912y2，并说明等号何时成立.证明：72x+49≥2·7x·7=2·7x+1，∴772xx1≤4912122.12又∵5－3y+y=（y－3）+

12≥

12，∴

772xx1≤5－3y+

4912y.2当且仅当x=1，y=3时取等号.

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不等式的证明（一）●知识梳理1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（ab2）2（a、b∈R+），当且仅当a=b时取等号.2.比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1a＞b.特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基......

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