备课资料(1.2.1 解三角形 解决有关测量距离的问题)利用余弦定理证明正弦定理_正弦定理余弦定理例题

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备课资料

利用余弦定理证明正弦定理

在△ABC中,已知a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC, 求证:a

sinA

2bsinB2csinC. bca

2bc

22222证明:由a=b+c-2bccosA,得cosA222, 222

∴sinA =1-cosA =1-22(bca)

2bc

22(2bc)(bca)(2bc)22=(2bcbca)(2bcbca)

4bc

a

sin2222222(bca)(bca)(abc)4bc22. ∴B4abc222

(abc)(abc)(abc)(abc)

记该式右端为M,同理可得

b

sin22BM,c2

2sinC

M,∴casin22Absin22Bc22sinC. ∴

asinAbsinBsinC.

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