第五节解三角形之正弦定理及应用 (教师版)（优秀）_解三角形教师版

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第五节解三角形之正弦定理及应用2011.11.21一课标要求

1.掌握正弦定理及其变形

2.了解正弦定理的证明方法与思想

3.会用正弦定理解三角形

4.能用正弦定理及三角公式进行恒等变形，实现边角互化，判断三角形的形状及恒等式的证明等

二 课前预习，夯实基础

1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝2，则(C)

A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对

解析：选C.sin B＝a＞b，∴B＝45°.2

2．．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(D)

22266A．－B.C．－333

31510解析：选D.由正弦定理得，sin 60°sin B

310×210·sin 60°3∴sin B.15153

∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．

326＝ 33

3.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(B)

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

ab解析：选B.b，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形． sin Asin B

sin Acos C4.在△ABC中，若C的值为(B)ac

A．30°B．45°C．60°D．90°

sin Acos Csin Aa解析：选B.∵＝，accos Ccasin Acsin C∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.15．在△ABC中，若tan A，C＝150°，BC＝1，则AB31解析：在△ABC中，若tan A＝C＝150°，3

1∴A为锐角，sin A＝BC＝1，10

BC·sin C则根据正弦定理知AB＝＝.sin A2

6.在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝1∶1∶3.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶3.∴cos B＝1－sinB＝1－

三．预备知识

1.任意三角形三边满足：两边之和____第三边，三个角满足：内角和为_____

2．在Rt△ABC中，a、b分别为A与B所对的直角边的长，c为斜边的长，则sin A＝___，cos A＝___.3．对于两个向量a和b，有a·b＝|a|·|b|cos θ(其中θ为a与b的夹角)．

思考：为什么说大边对大角呢？如何定量解释这个数学问题呢？ 四． 基础回顾

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等，即 ______ ＝______＝_______＝_______（）



定理证明：（思路一：）（代数法：向量法）过A作单位向量j垂直于AC 

由 AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

cbabc

=∴== sinCsinBsinAsinBsinC



同理，若过C作j垂直于CB得：

（思路二：）（几何法：外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

aa

CD2R ∴

sinAsinD

bc

同理 =2R，＝2R

sinBsinC

注：1.变形：

2.正弦定理的数学意义：

3.功能：A 已知两角和任一边解三角形

B已知两边和其中一边对角解三角形（有两解，或一解或无解）⑴若A为锐角时:

无解absinA



一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

C三角形的面积公式：

五 典例分析

例1(公式变形应用)在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.abc

解：∵sin A∶sin B∶sin C＝∶a∶b∶c，2R2R2R

4∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×＝8.1

5例2（知两边和其中一边对角解三角形）ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450

3解： ,sinC

sinAsinCa2

2csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b31,B750,C600或b31,B150,C1200

ππ

例3（判断三角形的形状）．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(B)，判断△ABC的形状．

ππ

解：法一：∵acos(－A)＝bcos(B)，22

ab

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：ab

2R2R

∴a＝b，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．

ππ

法二：∵acos(A)＝bcos(－B)，22

∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得： 2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形． 变式：在△ABC中，已知（ab

+

22)sin(A－B)＝·（a

—

b)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状

解法一：已知即a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正弦定理，得

sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0，∴sin2A＝sin2B，由0

解法二：同上可得2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得

∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，例4(三角形面积)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π

3.(1)若△ABC3，求a，b；

(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC3，所以

12absinC3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，a＝ 解得2ab＝4，b＝2.a＝23解得

3，b＝33.所以△ABC的面积

S＝1124322absinC23323.综上：△ABC的面积为23

3六 巩固提高

1.△ABC中，a5，b＝3，sinB＝

则符合条件的三角形有(BA.1个

B.2个C.3个

D.0个

答案：B 解析：∵asinB＝

102，∴asinB

2.(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c2a，则(A A．a>bB．a

C．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得csin120°＝asinA，))

3a261

∴sinA＝＝2a

42∴A>30°.∴B＝180°－120°－Ab.3.(2010·泉州模拟)△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(D)A.C.B.D.433或24

或32

答案：D

sinCsinB

解析：∵，13∴sinC＝3·sin30°＝

.2

∴C＝60°或C＝120°.13当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝13＝，2213

当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝13sin30°＝24即△ABC的面积为

.24

4.(2010·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB2，则角A的大小为________．

π

答案：6

解析：∵sinB＋cosB＝2，π

∴sin(B＋)＝1.4π

又0

221

由正弦定理，知sinAsinAsinB2π

又a

6π

B5.(2010·安徽卷)设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A＝sin3π

－B＋sin2B.sin3

(1)求角A的值；

→→(2)若AB·AC＝12，a＝27，求b，c(其中b

解：(1)因为sin2A＝

1B＋sinB

22

3B－1B＋sin2B＝3cos2B－1sin2B＋sin2B3，44422

所以sinA＝.2π

又A为锐角，所以A＝3

→→(2)由AB·AC＝12，可得cbcosA＝12.① π

由(1)知A＝cb＝24.②

由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcosA，将a＝7及①代入，得c2＋b2＝52，③ ③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.因此c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根． 解此方程并由c>b知c＝6，b＝4.七，春风再度玉门关-------规律方法总结

1．在△ABC中，a、b分别为A、B的对边．由正弦定理：

ab，再由大角对大边知A＞B⇔a＞bsin Asin B

⇔sin A＞sin B，即三角形中大角的正弦值大．

2．判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．

3．由于正弦定理及其变形形式都是等式，在求解三角形中的某个元素时，可运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形．只要涉及三角形的两角及对边的4个元素知3即可解三角形，即求出另3个元素．正弦定理的运用非常广泛，包括一些抽象性很强的平面几何结论，都可用正弦定理进行分析与证明．

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