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平行线的证明
一．知识导学
本节是以一个公理作为基础，从而推出两个定理。
公理：同位角相等，两直线平行。
定理：同旁内角互补，两直线平行。
定理：内错角相等，两直线平行。
以上定理说明，在现阶段，我们证明两条直线平行的方法有三种。
二、例题：
例1．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正。
（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB//CD（两直线平行，内错角相等）
分析：根据“三线八角”的概念，对（1），（2）可从内错角的条件入手。
解：（1）因为没有直线CD//AB的条件，不能得出内错角∠1，∠2相等的结论。
（2）理由填错了，应改为：
∵∠１＝∠2，∴CD//AB（内错角相等，两直线平行）
例2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？
分析：要判断EF与GH是否平行，只要能找到与EF，GH有关的一对角（同位，内错，同旁内角都可以）相等或互补即可。
解：∵∠1=∠2（已知）又∵∠CGE=∠2（对顶角相等）
∴∠1=∠CGE（等量代换）
又∵∠3=∠4（已知）
∴∠3+∠1=∠4+∠CGE（等量加等量，其和相等）
即∠MEF=∠EGH，∴EF//GH（同位角相等，两直线平行）。
说明：本题解答过程就是一种推理过程，每一步因果关系分明。由因导果的依据要在式子后面的括号内写明了。此题属于平行线判定类型。
例3．如图写出能使AB//CD成立的各种题设。
分析：应先找和AB，CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD。
解：使AB//CD成立的题设有：
（1）根据同位角相等，判定两直线平行有：∠EAB=∠EDC，∠FDC=∠FAB
（2）根据内错角相等，判定两直线平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。
（3）根据同旁内角互补，判定两直线平行有：∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°。
例4．已知如图，AB//CD，∠1=∠3，求证：AC//BD。
分析：因为本题是判定两条直线平行的，应选用平行线的判定，应从给定的条件中去寻找角的关系，因为AB//CD，所以可知∠1=∠2，又因为∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定AB与CD平行。
证明：∵AB//CD（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行内错角相等）
又∵∠1=∠3（已知）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AC//BD（同位角相等，两直线平行）。
例5．已知如图∠1=∠2，BD平分∠ABC，求证：AB//CD
证明：∵BD平分∠ABC（已知）
∴∠2=∠3（角平分线定义）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴AB//CD（内错角相等两直线平行）。
例6．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c
分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。
法
（一）证明：
∵d是直线（已知）
∴∠1+∠4=180°（平角定义）
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等角的补角相等）
∴a//c（同位角相等，两直线平行）
法
（二）证明：
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠3=180°（等量代换）
∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）
∴∠5+∠6=180°（等量代换）
∴a//c（同旁内角互补，两直线平行）
说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角，设法证明这一组同位角或内错角相等，或同旁内角互补。
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