初三数学证明及相关公理、定理、推论_垂径定理及其推论证明

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第一次课：证明及相关公理、定理、推论

一、考点、热点回顾

1、《证明

（一）》知识点回顾：全等三角形的四个公理和一个推论

公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)

公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)

2、课堂新知

等腰三角形性质定理：

定理等腰三角形的两个底角相等。（简单叙述：等边对等角）

等腰三角形性质定理推论：

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理：

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简单叙述：等角对等边）

等边三角形判定定理1：

定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理2：

定理三个角都相等的三角形是等边三角形。

含有30角的直角三角形的性质定理：

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形性质定理：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。

3、反证法

在ABC中，BC，求证：ABAC

反证法一般用于不方便直接证明的命题，从其反面予以证明不成立，从而肯定本命题整理，基本步骤为：假设命题结论不成立；从这个假设出发应用正确的推理方法；得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾；从而否定假设，得出肯定的结论。

4能力拓展：

（1）、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题

（2）、等腰三角形的性质在实际生活中的应用 

二、典型例题

ABDC

F

1F

例

1、（2010·昆明中考题）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明ABCEFD。

例

2、（2011·济南模拟题）在ABC中，ABAC,点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（）。

A.30B.36C.45D.70

例

3、（2010·成都调研题）点D、E在ABC的边BC上，ABAC,ADAE,求证：BDCE。

例

4、（2011·宁波模拟题）在ABC中，ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O的直线









例

1MN//BC，分别交于点M、N，求证：MNBMCN。

例

5、（2011·乐山模拟题）在等边ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F。

（1）求证：ADCE；（2）求DFC的度数。

例

6、（2010·北京四中测试题）D、E在线段BC上，A

BDCE，ACB120o，求证：ADE为等边三角形。

B

DE

C

例6

例

7、（2011·长春模拟题）已知如图，ABC是等边三角形，且1=2=3，求证：DEF是等边三角形。

D

A

C

E

B

例

8、（2010·华师一附中测试题）在ABC中，例7

F

ABA,CBAC12o，0是BCD的中点，DEAB于点E，求证：EB3EA

例

9、（2010·哈尔滨联考题）用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。

例

10、(2010·天津调研题)如图，D为等边ABC内一点，且

C

DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。

PD

B

例7

A

三、课后练习

1、D在AB上，点E在AC上，ABCACB,那么补充下列一个条件后，仍无法判定

ABEACD的是（）

A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC2、如图，ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。（1）、求证：AFCD；

（2）、在连接BE后，还能得出什么结论？（至少写出三个）

3、如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE，AE交CD于M，BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求证：MCN为等边三角形。

4、一艘船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，该穿一直向东航行有无触礁的危险？

5、在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。（1）求证：CAECBF（2）求证：AEBF

（3）以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求A CB的取值范围。

6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

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