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《任意角的三角函数》第一课时 教学设计
会宁县第二中学数学教研组
曹蕊
一、教学内容分析
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
二、学生情况分析
本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。
三、教学目标
知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
四、教学重、难点分析：
重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。
五、教学方法与策略：
教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：
为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．
七、教学过程
（一）教学情景
1．复习锐角三角函数的定义
问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？
设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．
师生活动：教师提出问题，学生回答． 2．认识任意角三角函数的定义
问题2：在上节教科书的学习中，我们已经将角的概念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？
设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．
师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利用下列问题引导学生进行思考：
（1）能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？ 以此来引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．
（2）在上节教科书中，将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？
进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论。
（3）如图2，在平面直角坐标系中，如何定义任意角θ的三角函数呢？
（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？如图3，如果角θ的终边不在第I象限又该怎么办？
问题3：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？ 设计意图：为引入单位圆进行铺垫．
师生活动：教师提出问题后，可组织学生展开讨论．在学生不能正确回答时，可启发他们思考下列问题：
我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆与半径大小有关吗？用半径多大的圆定义起来更简单易懂些？
问题4：大家现在能不能给出任意角三角函数的定义了？
设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．
师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理． 例1：（题目在课件中）
设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．
问题5：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？ 设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．
师生活动：学生求出定义域，教师进行整理． 问题6：上述三种函数的值在各象限的符号会怎样？
设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．
师生活动：学生回答，教师整理． 例2：（题目在课件中）
设计意图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．
师生活动：在完成本题的基础上，可视情况改变题目的条件或结论，作变式训练．
问题7：既然我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又将怎样变化？
设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想． 师生活动：在教师引导下，由学生讨论完成． 例3：（题目在课件中）
设计意图：将确定函数值的符号与求函数值这两个问题合在一起，通过应用公式一解决问题，让学生熟悉和记忆公式一，并进一步理解三角函数的概念．
例
4、例5（题目在课件中）3．练习（在课件中）
设计意图：通过应用三角函数的定义，熟悉和记忆特殊角的三角函数值、三角函数值的符号、公式一，以及求三角函数值，加强对三角函数概念的理解．
4．小结
问题8：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？
设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．
八、作业设计：
教科书P.24习题1.2A组第6、8题．
设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．
九、教学反思：
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：
1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。
2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。
3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。
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