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立体几何训练题050
大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷] 已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()
3A.B.33
C.D．1 3
大纲理数6.G5、G11[2011·全国卷] C 【解析】∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，则平面ABC⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE，故选C.3大纲理数16.G11[2011·全国卷] 已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于________．
大纲理数16.G11 [2011·全国卷] 【解析】 法一：在平面BC1内延长FE与CB相3
交于G，过B作BH垂直AG，则EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角
aBE的平面角．设正方体的棱长为a，可得BE，BG＝a，所以BH＝，则tan∠BHE＝32BHa
32＝32a2
法二：设正方体的边长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角
→→坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则EA＝(3,0,1)，EF＝(0,3，－1)，设平面AFE的法
→→向量为n＝(x，y，z)，则n⊥EA，n⊥EF，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，则x＝－1，y
＝1，所以n＝(－1,1,3)，又平面ABC的法向量为m＝(0,0,3)，所以面AEF与面ABC所成的m·n3二面角的余弦值为cosθ＝，∴sinθ＝1－32＝，所以tanθ＝.11|m||n|11113
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