正弦定理和余弦定理_正弦定理余弦定理

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第一章解三角形§1.1.1正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……………………....()

A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°

2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..()

A．9B．18C．93D．18

33．已知△ABC中，a∶b∶c＝13∶2，则A∶B∶C等于………………………..()

A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶

24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..()

A．(2，＋∞)] 1B．(-∞，0)C．(-2，0)1D．(2，＋∞)

5． 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..()

A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°

C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°

* 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则abc等于….()sinAsinBsinC

A．33

二、填空题23983B．3C．3 39D．

27．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．

8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．

39．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．

10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．

三、解答题

11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．

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(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．

12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4，求a，b，c．

AB

ababtan2． 13．在△ABC中，求证tan

14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．

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§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

D C A D C B

二、填空题

77．2或8． 22 9． 60°或120°10． 3

3三、解答题

11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-aS＝2absinC

3＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a2)＝-4(a-8)2＋16（0＜a＜16)

(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．

12．解：∵ sinC∶sinA＝4∴ c∶a＝

4设c＝4k，a＝k，则

13k2k2(b4k)

k2b8k3由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0③

解得k＝13或k＝1，∵ k＝13时b＜0，故舍去．

5∴ k＝1，此时a＝，b＝2，c＝4．

13．证明：由正弦定理，知

a＝2RsinA，b＝2RsinB

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ab2RsiAn2RsiBnsiAnsiBnab2RsiAn2RsiBnsiAnsiBn

ABABABABsi)si)si)si)2222

ABABAB2sicotaABABAB2sicota222

14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得

csiCnsinA(B)nsiAnasiA

∵ A≤B

∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°



∵ 正弦函数在(0，3)上是增函数，∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0

csin(AB)sin2A2sinAcosAsinA≥sinAsinA∴ a＝2cosA

c

∴ a≥2cosA

∵ 2A≤60°

∴ 0°＜A≤30°

∴ cosA≥cos30°＝2

c3

∴ a≥2·2

c∴ a≥3

∴ 最长边与最短边之比不小于3

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