考点9 正弦定理和余弦定理_正弦定理余弦定理例题

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考点9正弦定理和余弦定理

1.（2010²天津高考理科²Ｔ7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab

sinCB，则A=()22，（A）30（B）60（C）120（D）150

【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。

【规范解答】选A，根据正弦定理及sinC

B得：c

bca

2bc

02220000cosAc(ac)2bc222c22bc2，0A180,A30。00

【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。

2.（2010²北京高考文科²Ｔ7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为()

（A）2sin2cos2；

（B）sin

（C）3sin3 

1（D）2sincos1

【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。

【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。

【规范解答】选A



4

1211sin2sin22cos。

23.（2010²湖南高考理科²Ｔ4）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120

°，c则（）

A、a>bB、a

,【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。

【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解.【规范解答】选A.∵∠C=120

°，c

ba，∴2a2=a2+b2-2abcos120°，∴a2=b2+ab，∴（ba

b）+a-1=0，∴=

51

2

C【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。

【思路点拨】对C利用余弦定理，通过解方程可解出a。【规范解答】由余弦定理得，a2122a1cosB

2

3，则。

23

。3，即aa20，解得a1或2（舍）

C

A

【答案】

1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。

5.（2010²广东高考理科²Ｔ11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

A+C=2B,则sinC=.【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B、A的大小，求出C，从而求出sinC.【规范解答】由A+C=2B及ABC180得B60，由正弦定理得





1sinA



sin60



得sinA

2，由

ab知AB60，所以A30，C180AB

90，所以sinCsin901.





6.（2010²山东高考理科²Ｔ15）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若asinBcosB，则角A的大小为．

b

2，【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】

先根据sinBcosB 【规范解答】

由sinBcosB

求出B，再利用正弦定理求出sinA，最后求出A.

得12sinBcosB2，即sin2B1，因为0

sinA

2sin4

5

又因为ab2，所以在

ABC中，由正弦定理得：=，解得sinA

2，又a

所以A



6

baab

6cosC，7.（2010²江苏高考²Ｔ１3）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若则

tanCtanA

tanCtanB的值是。

【命题立意】考查三角形中的正、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想。【思路点拨】对条件

ba

abbaab

6cosC采用角化边，对

tanCtanA

tanCtanB

采用弦化切并结合正弦定理解决.【规范解答】6cosC6abcosCab，6ab

2abc

2ab

ab,ab

2222

3c2

tanCtanA



tanCtanB



sinCcosCc



cosBsinAsinBcosA

sinAsinBc16



由正弦定理，

cosCsinAsinBcosCsinAsinB

sinCsin(AB)1sinC

得：上式

cosCab



c

(ab)

13c

62



4【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC

1tan

C

3，tan

C2



1cosC1

cosC



12，tan

C2



tanAtanB，tanCtanA



tanCtanB

= 4。

8.（2010²辽宁高考文科²Ｔ17）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(Ⅰ)求A的大小；

（Ⅱ）若sinB +sinC=1,试判断△ABC的形状.【命题立意】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理和运算求解能力。

【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

(II)利用（I）的结论，求出角B（或角C），判断三角形的形状

【规范解答】

解：

(I)由已知，根据正弦定理得：2a(2bc)(2cb)c即abcbc,由余弦定理abc2bccosA故cosAA＝

23

12,又A（0，）

(II)由（I）中abcbc及正弦定理可得：sinAsinBsinCsinBsinC即：（＝sinBsinCsinBsinC

又sinB+sinC=1得sinB=sinC= 0

,0

,BC

△ABC是等腰的钝角三角形。

【方法技巧】利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换 sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能 只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°

9.（2010²浙江高考文科²Ｔ18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S

abc)。

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinAsinB的最大值。

【命题立意】解析本题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。

【思路点拨】利用面积公式求角C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【规范解答】(Ⅰ)由题意可知

2absinC

＝

2abcosC.所以tanC

因为0

π

3.（Ⅱ)由已知sinA+sinB = sinA+sin(π-C-A)＝sinA+sin（12

π6

2π3

-A)



＝sinA

+cosA+sinA

A+)

(0A)

当A＝，即△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB

.23

【方法技巧】求sinAsinB时利用AB题。

转化为关于角A的三角函数y

A



6)的最值问

10.（2010²辽宁高考理科²Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA(2ac)sinB(2cb)sinC.（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinBsinC的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角

（II）由（I）知角C＝60°-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值

【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a(2bc)b(2cb)c

即abcbc

由余弦定理得abc2bccosA 故cosA

12，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinBsinCsinBsin(60B)



cosB

sinB

sin(60B)

故当B＝30°时，sinB+sinC取得最大值1。

【方法技巧】

(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c替换sinC。

sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。

(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C＝60°

11.（2010²浙江高考理科²Ｔ18）在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C

(I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．

【命题立意】本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。【思路点拨】利用二倍角余弦公式求sinC的值。再利用正弦定理求c，利用余弦定理求b。【规范解答】（Ⅰ）因为cos2C=1-2sinC=

14，及0＜C＜π所以

csinC

.（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理

asinA

，得c=4

由cos2C=2cosC-1=，及0＜C＜π得cosC=

由余弦定理c=a+b-2abcosC，bb-12=0，解得

bb所以。

c4

c4

2222

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