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数学归纳法典型例题
【典型例题】
例1.用数学归纳法证明：时。
解析：①当式成立。时，左边，右边，左边=右边，所以等②假设则当时，时等式成立，即有，所以当时，等式也成立。
等式都成立。由①，②可知，对一切点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明
时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
例2.。
解析：（1）当（2）假设当
时，左边时命题成立，即，右边，命题成立。，那么当时，左边。
上式表明当
时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例3.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式
成立。解析：①当②假设时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
时，不等式成立，即，那么当时，∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。
（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立，则成立是推理的基础，第②步成立，是推理的依据（即
成立，„„，从而断定命题对所有的自然数均成立）。中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法另一方面，第①步中，验证3等；第②步中，证明用上归纳假设。
例4.若不等式正整数a的最大值，并证明你的结论。
对一切正整数n都成立，求解析：取。
令所以取，得，而，下面用数学归纳法证明，（1）（2）假设时，已证结论正确
时，则当时，有，因为，所以，所以即时，结论也成立，，由（1）（2）可知，对一切都有，故a的最大值为25。
例5.用数学归纳法证明：解析：方法一：令（1）（2）假设
能被9整除。，能被9整除。
能被9整除，则
∴由（1）（2）知，对一切方法二：（1）（2）若
∴时也能被9整除。，能被9整除。，原式，能被9整除。，命题均成立。
能被9整除，能被9整除，则
时
由（1），（2）可知，对任何点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形，从而利用归纳假设使问题获证。例6.求证：解析：（1）当（2）设则当时，时，时，能被整除。，命题显然成立。
能被整除。
由归纳假设，上式中的两项均能被故时命题成立。，命题成立。
整除，由（1）（2）可知，对
例7.平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成解析：①②假设当
个部分。
时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立。时，个圆将平面分成时，个部分，第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k个区域，所以这k+1个圆将平面分成故个部分，即时，命题成立。
命题成立。
个部分。
由①，②可知，对点评：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例8.设的结论。
解析：当时，由，是否存在关于自然数n的函数对于，使等式的一切自然数都成立？并证明你，得当时，由，得猜想。，下面用数学归纳法证明： 当①当②假设那么当时，时，等式时，由上面计算知，等式成立。
成立，恒成立。
∴当时，等式也成立。的自然数n，等式都成立。，使等式成立。
与n的关系式，猜想由①②知，对一切故存在函数点评：（1）归纳、猜想时，关键是寻找满足条件的的关系未必对任意的都满足条件，故需用数学归纳法证明。，即（2）通过解答归纳的过程提供了一种思路：可直接解出。
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